ЛЕКЦИИ ЧАСТЬ I

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Это выражение позволяет определять касательные напряжения в любой точке круглого поперечного сечения. Максимальные напряжения τmax

определяют по формуле

Величину Wρ называют полярным моментом сопротивления. Для круглого поперечного сечения Wρ =πd 3 16 =πr3 2 .

Из уравнения (7.4) найдем полный угол закручивания вала ϕl

Если крутящий момент по длине вала и стержень имеет постоянный диаметр, тогда получаем

Для ступенчатых валов, а также для валов постоянного сечения в случае скачкообразного изменения крутящего момента, угол закручивания находится как сумма углов закручивания по всем участкам

Величину GJρ называют жесткостью стержня при кручении. Она

характеризует сопротивление вала закручиванию. Кроме того, для оценки жесткости вала используют параметр, называемый относительным углом закручивания

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Для случаев, когда в пределах отдельного грузового участка вала эпюра M z

постоянна, величина θ численно равна углу закручивания стержня на единицу длины.

7.2 ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ ВАЛА КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Формулами (7.11) и (7.12) можно пользоваться как при ступенчатом изменении крутящих моментов, так и жесткости вала. В этом случае потенциальная энергия равна сумме потенциальных энергий, найденных по отдельным участкам.

7.3 АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ВАЛА ПРИ КРУЧЕНИИ. ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ГЛАВНЫЕ ПЛОЩАДКИ

Ранее было установлено, что при кручении вала круглого поперечного сечения в нем возникают только касательные напряжения τ . На основании закона парности касательных напряжений напряжения τ действуют и в продольных сечениях (рис. 7.4). Нормальные напряжения, как в поперечных, так и в продольных сечениях вала равны нулю. Однако, касательные напряжения, направленные вдоль радиуса отсутствуют, так как боковая поверхность вала свободна от напряжений. Таким образом, на двух взаимно перпендикулярных площадках, одна из которых лежит в плоскости поперечного сечения, а другая − в плоскости продольного диаметрального сечения, действуют

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Далее рассмотрим траекто-

рии главных напряжений. Так назы-

вается линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением главного напряжения, возникающего в данной точке. При кру-

чении вала круглого поперечного сечения траектории главных напряжений представляет собой винтовую линию, наклоненную под углом 45° относительно образующей. Совокупность этих линий делит поверхность вала на прямоугольные клетки (рис.7.5). Эти элементы в одном направлении испытывают растяжение, а в другом – сжатие.

z

Рисунок 7.5 – Траектории главных напряжений и виды разрушения при кручении вала круглого поперечного сечения

Этим объясняется различный характер разрушения материалов при кручении. Стержень, изготовленный из чугуна, разрушается по винтовой поверхности, так как предел прочности на растяжение σut для хрупких мате-

риалов значительно ниже предела прочности при сжатии σuc . Стальной вал

разрушается по поперечному сечению от среза в виду того, что растягивающие напряжения для пластичного материала менее опасны, чем касательные. При разрушении деревянного стержня наблюдается раскалывание материала вдоль волокон, так как прочность древесины в этом направлении меньше, чем поперек волокон.

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

7.4 РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН С МАЛЫМ ШАГОМ ВИТКА

Различные виды пружин нашли широкое применение в технике. Рассмотрим принцип расчета винтовых цилиндрических пружин с малым шагом витка. У таких пружин угол наклона витка к плоскости, перпендикулярной оси пружины достаточно мал, поэтому считают, что витки лежат в этой плоскости (рис. 7.6).

Рисунок 7.6 – Расчет цилиндрических пружин с малым шагом витка

Разрезаем пружину на две части и, отбрасывая нижнюю часть, заменим ее действие поперечной силой Qz и крутящим моментом Мz. BИз уравнений статики следует, что Qz = F, а Мz = FR, где средний радиус витка пружины. Следовательно, рассматриваемая пружина одновременно работает на срез и кручение. Касательные напряжения от кручения достигают максимальных значений в наиболее удаленной точке сечения K и равны

Касательные напряжения среза считаем равномерно распределенными по сечению витка пружины:

Суммируя напряжения от действия кручения и среза в наиболее опасной точке поперечного сечения K , получаем

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Второе слагаемое в скобках мало по сравнению с единицей, поэтому им пренебрегают и учитывают только напряжения от кручения:

Найдем деформацию пружины, учитывая, что витки пружины при ее деформации испытывают только кручение. Обозначая осадку пружины λ , найдем работу А растягивающей силы F на перемещении λ . Предполагая линейную зависимость λ от силы F , можно записатьA = Fλ2 . Потенциаль-

ная энергия в пружине от кручения определяется в соответствии с выражени-

ем (7.12)

Общую длину проволоки, из которой изготовлена пружина при n витках, находим по формуле

7.5 ПОНЯТИЕ О КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ

Эта задача является значительно более сложной по сравнению с ранее рассмотренной задачей кручения круглого стержня. Гипотезы, принятые при расчетах вала круглого сечения, в данном случае нарушаются. При деформации кручения таких стержней плоские до деформации сечения искривляются, так как отдельные точки, принадлежащие им, перемещаются вдоль оси стержня. Такое искривление называется депланацией сечения (рис. 7.7).

Точное решение для некоторых типов поперечного сечения стержня при кручении дается в теории упругости. Приведем окончательный результат решения указанной задачи для стержня прямоугольного сечения.

Для стержня прямоугольного поперечного сечения (рис.7.7) касательные напряжения в угловых точках равны нулю. На этом же рисунке приведены эпюры распределения касательных напряжений по главным осям сечения

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

и по его диагоналям. Наибольшее напряжение возникает в середине длинной стороны (точка 1). Его величину можно определить по формуле τ1 = M z Wk ,

Wk = βb3 . Касательное напряжение в середине короткой стороны прямоугольного сечения (точка 2) равноτ2 =γτ1 . Угол закручивания определяется по формуле

Рисунок 7.7 – Кручение стержня прямоугольного сечения

Коэффициенты α , β и γ , входящие в эти формулы, зависят от соотношения сторон прямоугольникаm = hb . Для некоторых значений т величины этих коэффициентов приведены в табл. 7.1.

Таблица 7.1 КОЭФФИЦИЕНТЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ПРЯМОУГОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

линии параллельные оси станут дугами окружностей, а линии перпендикулярные оси станут отрезками радиусов (рис. 8.2). Рассматривая картину деформации можно высказать несколько гипотез:

1.Выполняется гипотеза плоских сечений (сечения плоские до деформации остаются плоскими после деформации).

2.Длина отрезка ef в направлении перпендикулярном оси в процессе деформации не изменяется, следовательно, можно предположить, что продольные волокна не давят друг на друга.

3.Длина отрезка ab сократилась, а отрезка cd увеличилась. Следовательно, в верхней части балки волокна сжимаются, а в нижней растягиваются. Значит, по высоте балки имеются волокна, которые не сжимаются и не растягиваются. Совокупность таких волокон в поперечном сечении бруса составляют нейтральный слой.

Центр кри-

Рисунок 8.3 − Определение нормальных напряжений при чистом изгибе

Рассмотрим два нормальных сечения балки, находящихся на бесконечно малом расстоянии dz друг от друга (рис. 8.3). Первоначально прямолинейное волокно 1−2 после деформации станет дугой окружности 1′−2′ радиуса ρ + у. Величина ρ равна радиусу кривизны нейтрального слоя. Учитывая,

что продольные волокна не давят друг на друга, можно считать, что волокно 1′−2′ работает только на растяжение. Если материал балки работает в линейно−упругой области, то, следовательно, выполняется закон Гука (4.6)

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Определим относительную деформацию εz рассматриваемого волокна.

Длину волокна 1−2 до деформации обозначим как ds , а после деформации – ds + ds . Тогда

Следовательно, нормальные напряжения σ изменяются по высоте сечения по линейному закону.

При изгибе балки в волокне 1−2 возникает элементарная растягивающая сила dN . В поперечном сечении балки рассматриваемое волокно соответствует точке K. Выделим в ее окрестности бесконечно малую площадку

В соответствии с определением чистого изгиба в поперечном сечении балки продольная сила отсутствует. Тогда, интегрируя выражение (8.4) по площади А, получаем

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Отношение Е / ρ не равно нулю, отсюда ∫∫y dА= 0. Но этот интеграл

А

представляет собой статический момент Sx площади поперечного сечения балки относительно нейтральной оси Ох. Известно, что если Sx = 0 , то ось

Ох проходит через центр тяжести поперечного сечения балки. Следовательно, при изгибе нейтральный слой проходит через центр тяжести и совпадает с одной из главных центральных осей, т.к. мы рассматриваем балки с симметричным сечением.

В соответствии с выражением (3.23) изгибающий момент можно определить следующим образом

M x = ∫∫σz ydA.

A

Подставляя в это уравнение выражение (8.3), получаем

Здесь Jx − момент инерции поперечного сечения бруса относительно оси Ох. Тогда, кривизна изогнутой оси балки будет равна

Подставляя выражение (8.8) в уравнение (8.3), получаем формулу для определения нормальных напряжений при чистом изгибе

Как следует из полученного выражения, экстремальные нормальные напряжения возникают в точках поперечного сечения наиболее удаленных от нейтральной оси Ох

где Wx = J x / ymax − момент сопротивления поперечного сечения балки.

Учитывая, что волокна балки испытывают деформации растяжения или сжатия, можно записать условие прочности

где R − расчетное сопротивление для данного материала (см. раздел 4.11.3).