2 Классификация математических моделей. Основные требования к математическим моделям

В своей активной деятельности человек издавна использует модели реальных объектов, моделирование явлений для отработки идей, проверки гипотез, получения экспериментального материала. При этом под моделированием какого-либо объекта (системы, процесса, явления) понимают воспроизведение и исследование другого объекта в форме, удобной для исследования, и перенос полученных сведений и результатов на моделируемый объект.

Из существующих способов моделирования (типов моделей) выделим четыре наиболее распространенных:

масштабное моделирование (масштабная модель) – натурный объект и модель имеют одинаковую физическую природу и отличаются размерами, причем масштаб по различным направлениям может быть неодинаковым;

аналоговое моделирование – объекты одной физической природы заменяются объектами другой физической природы на основе прямых аналогий;

полунатурное моделирование – метод экспериментального исследования, когда часть изучаемого объекта представлена в виде модели, а часть оригинала используется в натуре в едином комплексе с моделью;

математическое моделирование – для описания реальных явлений и процессов используются абстрактные математические объекты, такие как переменные, векторы, числа, множества, графы и т.д.

При выполнении задач технологического проектирования и управления математическое моделирование имеет следующие преимущества: низкая материалоемкость; возможность исследований на критических режимах; пригодность для современных компьютерных технологий.

Математическая модель (ММ) – совокупность математических объектов и связей между ними, отражающая важнейшие свойства проектируемого технического объекта (процесса).

Требования к мм

При математическом моделировании объекта проектирования используем следующую классификацию его параметров: входные параметры; внутренние и внешние параметры.

Под параметрами понимаем величины, характеризующие свойства или режим работы объекта.

В векторном виде

Y = ( y₁, y₂, …, y_m) ;

X = ( x₁, x₂, …, x_n ) ;

Q = ( q₁, q₂, …, ql ),

где Y- вектор выходных параметров, m - их количество; X- вектор внутренних параметров, n- их количество; Q- вектор внешних параметров, l- их количество.

Для описания выходных свойств ОП применима функциональная зависимость

Y = F ( X, Q ).

Основные требования к ММ следующие.

Универсальность ММ – полнота отражения свойств реального ОП в ММ. Под универсальностью модели понимают также возможность ее применения для группы объектов.

Точность ММ – степень совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных по ММ.

Так, если для j параметра y_jист– истинное значение параметра, а y_jмм– значение, рассчитанное по модели, то относительная погрешность расчета параметра

= ( y_jмм – y_jист )/ y_jмм.

Для вектора выходных параметров Y получаем вектор погрешности ММ

.

Скалярное значение погрешности модели

= max ; j .

Чувствительность ММ – ее способность реагировать на малые изменения входных параметров ОП.

Надежность ММ определяется величиной разброса результатов при небольших погрешностях в определении исходных данных. Если разброс большой, то ММ считается ненадежной (плохо обусловленной моделью).

Область применения ММ и результатов моделирования определяется областью адекватности ММ.

Адекватность ММ – ее способность описывать заданные свойства ОП с погрешностью не выше заданной. Адекватность рассматривается в ограниченной области изменения внешних параметров – области адекватности ММ

ОА = ,

где - предельный допуск погрешности ММ.

Экономичность ММ определяется затратами на техническое обеспечение и на машинные ресурсы, необходимыми для ее реализации.