6.4 Комбинаторная задача на составления расписания

Существо комбинаторных задач проиллюстрируем на примере определения оптимальной последовательности обработки деталей.

Задача о двух станках

Имеется два станка, токарный и фрезерный и n различных деталей, каждая их которых должна быть последовательно обработана на каждом из этих станков. Требуется определить, в какой последовательности нужно обрабатывать эти детали.

Данная задача имеет характерные признаки задач на составление расписания с ограничениями типа , на последовательность операций (сначала токарная обработка, а затем фрезерная) и с ограничением типа  на используемые ресурсы (имеются только один токарный и один фрезерный станки). Однако данные ограничения не являются чрезвычайно жесткими и допускают большую свободу выбора вариантов обработки деталей. Начать обработку можно с любой из n деталей, второй можно обрабатывать любую из оставшихся n-1 деталей и т.д. Общее число вариантов n(n-1)...1=n!

Однако, может быть, все эти варианты равноценны, так что нет и никакой проблемы. Оказывается, что это не так. От выбора порядка обработки деталей зависят простои оборудования (фрезерный станок уже освободился, а токарная обработка очередной детали не закончена) и перерывы в обработке деталей (закончена токарная обработка очередной детали, но фрезерный станок еще занят).

Из всех возможных вариантов обработки следует выбрать такой, который позволит закончить обработку всей партии деталей за кратчайшее время. Поэтому данная задача является задачей оптимизации. Однако решение ее затруднено большим количеством вариантов, что и заставляет отнести ее к задачам комбинаторного типа.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через а_к и в_к - время обработки -й детали на первом и втором станках соответственно.

Требуется найти какую последовательность обработки деталей, при которой общее время обработки всех деталей будет наименьшим. Отметим особенности работы каждого из станков.

Первый станок может начать обрабатывать следующую деталь сразу же как только закончит обработку предыдущей и простоев у него не будет.

Иначе обстоит дело со вторым станком. Он может начать обработку очередной детали только в том случае, если

1) закончилась обработка этой детали на первом станке;

2) закончилась обработка предыдущей детали на втором станке.

Рассмотрим простейший случай обработки всего двух деталей.

Если сначала обрабатывается первая деталь, то момент окончания ее обработки на первом станке будет а₁. Моменты а₁+в₁ и а₁+а₂ соответствуют окончанию обработки первой детали на втором станке и второй детали на первом станке.

Вторую деталь на втором станке можно начать обрабатывать, когда обе эти операции закончены, т.е. в момент

max (a₁+в₁, a₁+a₂) = a₁ + max(a₂, в₁)

Обработка обеих деталей (на 2-х станках) закончится в момент

t’=a₁+max(a₂,в₁) + в₂

Аналогично, если сначала обрабатывается вторая деталь, то момент окончания обработки обеих деталей будет равен

t’’=a₂ + max(a₁,в₂) + в₁

Обработку выгоднее начинать с первой детали, если t’  t’’, т.е. если a₁ + max(a₂, в_{1) +} в₂  a₂+max(a₁,в₂)+в₁ (3) .

Легко видеть справедливость соотношений

a₁ + в₂ = max(a₁,в₂) + min(a₁,в₂)

a₂ + в₁ = max(a₂,в₁) + min(a₂,в₁)

c учетом которых (3) запишется в виде

min (a₁,в₂)  min (a₂,в₁)

Это и есть условие, когда обработку выгоднее начинать с первой детали.

Рассмотрение случая из n - деталей более сложно, но можно показать, что из двух деталей i и j раньше нужно начинать обработку детали i, если выполняется условие

min (a_i,в_j)  min (a_j,в_i) (4) .

Если теперь поставить в соответствие каждой детали вершину графа и считать, что расстояние d_ij между вершинами i и j равно единице, если выполняется условие (4) и равно  (бесконечности) в противном случае, то приходим к матрице расстояний, определяющей соответствующую задачу коммивояжера. Кратчайший гаммильтонов путь, определяемый этой матрицей и дает оптимальную последовательность обработки деталей.