12.2. Элементы теории вероятности и математической статистики

Случайной величиной (СВ) называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Среди случайных величин, с которыми приходится иметь дело в научных исследованиях и в жизни, можно выделить два основных типа: дискретные и случайные.

Случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются дискретными случайными величинами. Случайные величины, возможные значения которых не отделены друг от друга, непрерывно заполняют некоторый промежуток, который имеет иногда резко выраженные границы, а чаще – границы неопределенные, расплывчатые, называются непрерывными случайными величинами.

Законом распределения случайных величин называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Непрерывную СВ Х можно задать не только с помощью интегральной функции распределения, но и с помощью дифференциальной функции распределения (плотности распределения). По интегральной функции трудно судить о характере распределения СВ в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси, хотя она и является исчерпывающей характеристикой СВ.

Числовые характеристики положения определяют положение СВ на числовой оси, т. е. показывают некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все ее возможные значения. К ним относится: матожидание М(Х); мода М₀; медиана М_d; нач-ые моменты _к.

Математическим ожиданием дискретной СВ Х, имеющей ряд распределения

называется сумма произведений всех возможных значений СВ на вероятности этих значений. Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений СВ.

Модой дискретной СВ Х называется ее наиболее вероятное значение.

В общем случае мода и математическое ожидание не совпадают. В частом случае, когда распределение является симметричным и имеет моду и математическое ожидание, то М(X) = M₀.

Медианой СВ Х называется такое ее значение, относительно которое равновероятно получение большего или меньшего значения СВ.

Геометрически, медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам, каждая из которых равна 0.5.

Значения наблюдаемых в практике СВ всегда более или менее колеблются около среднего значения. Это явление называют рассеянием СВ около ее среднего значения. Числовые характеристики, характеризующие рассеяние СВ, т.е. показывающие насколько тесно сгруппированы возможные значения СВ около центра рассеяния (математического ожидания), называют характеристиками рассеяния.

Основными характеристиками рассеяния являются:

дисперсия D(Х); среднекв-ое отклонение σ (Х); центральные моменты _К.

Дисперсией СВ Х называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания D(X)=M[(X-M(X))²].

Дисперсия СВ является удобной характеристикой рассеяния ее возможных значений. Ее недостаток состоит в том, что она лишена наглядности, так как имеет размерность квадрата СВ. Для большего удобства желательно иметь характеристику, по размерности совпадающей с размерностью СВ. Такой характеристикой является среднеквадратическое отклонение (X) равное положительному квадратному корню из дисперсии

Среди распределений непрерывной СВ центральное место занимает нормальный закон распределения.

Кроме того, также используется экспоненциальный закон распределения - >200 эл-ов в изделии, логарифмический, Пуассона-для редких событий.