1vvedenie_v_ekologicheskoe_modelirovanie

Рисунок 7.7 - Сто хастические изменения уровня воды в во доеме

Когда важны неопределенность и влияние выходных данных водной системы, становится более подхо дящим использовать методики анализа риска. В противном случае нужно применять традиционное и имитационное моделирование. Риск и надежность процесса конс т- руирования водных ресурсов можно оценить по трем основным категориям:

(1)структурная надежность (дамбы, уровень затопления и др у- гие гидравлические структуры);

(2)надежность запаса воды (проблемы качества во ды);

(3)риск загрязнения воды (проблемы качества воды ).

Во всех трех об ластях неопределенности в основном возникаю т в связи с пространственными и временными переменными, связанн ы- ми с гидрологическими переменными. В дополнение к этим неоп ределенностям, возникающим из физического определения проблемы, добавляю тся другие виды неопределенностей, такие, которые относятся к использованию методов и инструментов описания и моделирования физической задачи (например, техники по дго товки образцов, сб ора и анализа информации и математического моделир ования).

169

2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Чтобы оценить риск загрязнения прибрежных во д, необ ходимо знать изменение во времени и в пространстве концентрации загря з- няющего вещества . В общем случае мы имеем трехмерное изменение в пространстве концентрации загрязнителя. В большинстве случаев в далеких от источника загрязнения районах достаточно знать двуме р- ное поле концентрации загрязнителя, который обычно распростран я- ется в тонком повер хностном слое возле свободной повер хности моря.

Концентрация неподвижного загрязнителя формулируется при помощи уравнения конвективной диффузии. Это частное дифференц и- альное уравнение, выражающее:

(a)движение загрязнителя при помощи прибрежных теч ений;

(b)процесс турбулентной диффузии загрязнителя в море.

Чтобы получить конечную форму математической модели, пр и-

нимается во внимание закон со хранения масс. Для по движного загрязнителя, к уравнению необ ходимо добавить допо лнительные у словия;

(c) био химические взаимодействия между различными составляющими загрязнителя.

Молекулярная диффузия Решим конвективно-диффузионное уравнение шаг за шагом. На

настоящий момент скорости принимаются равными нулю. Даже в случае нулевого движения концентрация загрязнителя изменяется благодаря процессу диффузии, что осуществляется благодаря неравномерному пространственному распределению концентрации загрязн ителя (рисунок 7.8).

170

Рисунок 7.8 - Двумерная диффузия частиц загрязнителя

Смешивание молекул дву х жидкостей, ко торое происхо дит спонтанно без химической реакции, называется диффузией. Когда обе жидкости нахо дятся в гидродинамическом и тепловом равновесии, смешивание основано только на молекулярных взаимодействиях, и поэтому такое явление называю т молекулярной диффузией. Если две жидкости движу тся о дновременно и пото к турбулентен, то процесс смешивания более сложен и называется турбулентной диффузией. Очевидно, что для нужд проектирования окружающей среды , основой будет физическое и математическое описание турбулентной дифф у- зии. Для то го чтобы лучше понять э то явление, необ хо димо сначала изучить молеку лярную диффузию.

Это показано на рисунке 7.8, где частицы представляют собой

загрязняющие вещества. Ко личество этих единиц на единицу измер е-

ния эквивалентно концентрации загрязнителя. Если q - загрязняю-

щий по ток, т.е. скорость по тока на единицу площади, то, в соответс т-

вии с законом Фика, q пропорционально отклонению в пространствеC концентрации C. Попробуем объяснить этот закон, ко торый является феноменологическим и, конечно, неуниверсальным, и действует в одномерном пространстве. Из двумерного распределения частиц загрязнителя, как по казано на рисунке 7.8, рассматриваются две единич-

171

ные площадки, со держащие N1 и N2 частиц. Количество частиц, пересекающих границу между двумя прилегаю щими друг к другу единичными площа дками размерами Δx и Δy, по дсчитывается следующим образом (рисунок 7.9).

Рисунок 7.9 - Продольная диффузия потока загрязняющих час-

тиц

В соответствии с законом Фика, пото к загрязнителя qx в направлении x пропорционален разнице в количестве частиц на единицу

длины, т.е. выражению (N1-N2)/ x. Э то означает, ч то компонент qx

потока q выражается следующим уравнением:

172

где D - коэффициент пропорциональности с размерностью [L2/T], названный коэффициентом диффузии. Знак минус в уравнении (4.3) объясняется тем фактом, что частицы движутся о т более высокой к более низкой концентрации. Э то означает, то для убывающей функ-

ции C = C(x), произво дная C/x о трицательна и qx - по ложительно. Используя то же описание, что и в уравнении (1), в направлении y, компонент пото ка y будет записан следующим обр азом

Выражения (1) и (2) ведут к закону Фика в векторной форме

что является общим выражением потока загрязнителя в тре х-

мерном пространстве, где q =(q x,qy,qz).

В элементарном объеме поперечного сечения единицы объема, показанного на рисунке 7.10, масса загрязнителя равна

C(x,t)* x.

173

Рисунок 7.10 - Продо льный поток загрязняющего вещества в элементарном объеме

Закон сохранения масс диктует, что вышеназванная массовая скорость до лжна быть равна скорости по тока массы, пересекающей единицу площади (рисунок 10) и выражено следующим уравнением:

Это уравнение одномерной диффузии. Для трех измерений, вторая часть этого уравнения может быть закончена такими же выражениями в направлениях y и z, после чего мы получаем

174

Теперь предположим, что u - скорость потоков в направлении x, и что поток одномерен. Рассмотрим единицу площади перпендикуля р- но оси x, как показано на рисунке 7.10. Произведение u C - э то поток массы загрязняющего вещества в направлении x.

Именно этот конвективный поток нужно прибавить к диффузионному потоку, чтобы получить общий по ток q x. При сложении дву х потоков мы получаем:

(9) мы получаем общий вид уравнения конвективной диффузии

175

Зная средние по времени величины всех членов, и принимая, что Vi ' 0, Ci ' 0, мы получаем

Поскольку жидкость несжимаема, то уравнение непрерывности

имеет сле дующую форму Vi' 0 , и по лучаем

xi

Мы видим, что э то уравнение аналогично уравнению адвективной диффузии (10), хо тя в нем и содержится дополнительный член

xi (C' Vi '), который представляет собой влияние турбулентно-

го потока. Точнее, член C' Vi ' - это средняя величина адвективной

диффузии в турбулентном потоке определенно го количества вещества с концентрацией C' на единицу площади перпендику лярно скорости Vi'. Допуская, что здесь также можно применить закон Фика, мы по-

лучаем:

где Dij – матрица, представляю щая турбулентную диффузию.

Наиболее значительная скорость в определении коэффициентов ту р- булентной диффузии Dij состоит в том, что они не постоянны на пр о-

тяжении всего потока и зависят от локальных характеристик потока. Подставляя уравнение (14) в уравнение (13), мы получаем:

177