2.8. Безвихревое или потенциальное движение

Рассмотрим частный случай, когда установившееся движение жидкости происходит без вращения частиц, т. е. предположим, что во всем объеме, занятом жидкостью,   0. Это условие можно записать в виде

что равносильно системе

(2.45)

Из теории криволинейных интегралов известно, что соотношения (2.45) являются необходимыми и достаточными условиями для того, чтобы трехчлен вида и_x dx + u_y dy + и_z dz представлял собой полный дифференциал некоторой функции трех перемен­ных, которую обозначим через  (х, у, z). Таким образом,

и_x dx + u_y dy+ и_z dz = d.

Учитывая, что полный дифференциал выражается формулой

можно записать

Так как это равенство выполняется при любых dx dy, dz, коэффициенты при дифференциалах независимых переменных в левой и правой частях должны быть равны, т. е.

и_x = д/дх; u_y = д/ду; и_z, = д/дz. (2.46)

Следовательно, при безвихревом движении проекции вектора скорости u являются частными производными некоторой функции , называемой потенциалом скорости. Так как равенства (2.46) остаются справедливыми, если заменить  на  + С, где С = const, то следует считать, что потенциал скорости определяется c точностью до постоянного слагаемого.

Вектор скорости можно представить в виде

(2.47)

или

u = grad . (2.48)

Приведенные рассуждения и соотношения справедливы также для неустановившегося движения. В этом случае их можно применить к любому фиксированному моменту времени, которое будет играть роль параметра, и, следовательно,  =  (х, у, z, t).

Используя понятие производной по направлению, легко по­казать, что для любого направления и_s = д /дs.

Действительно, обозначим через s⁰ единичный вектор выбран­ного направления s. Тогда согласно выражениям (2.48) и (2.47)

(2.49)

Следовательно, проекция вектора скорости на любое направление равна производной потенциала скорости по этому направлению:

и_s = и cos (s, и) == д /дs. (2.50)

Рассмотрим два частных направления s⁰.

А. s⁰||u. Для этого случая cos (s, и) = 1, и производная по этому направлению принимает наибольшее значение, равное модулю вектора скорости: д /дs = и. Иными словами, вектор скорости u указывает направление быстрейшего изменения функ­ции . Так как вектор и касателен к линии тока, то вдоль нее функция  изменяется быстрее, чем в любом другом направлении.

Б. s⁰_|_u. В этом случае cos (s, и) = 0 и ду/дs = 0. Следовательно, вдоль данного направления функция  остается постоянной. Но в пространстве бесконечно много направлений, ортогональных к вектору скорости и. В каждой точке линии тока они образуют некоторую поверхность, называемую эквипотенциальной, уравнение которой имеет вид

 (х, у, z) = const. (2.51)

Таким образом, в потенциальном или безвихревом потоке жидкости можно построить семейства эквипотенциальных поверхностей и совокупность линий тока, каждая из которых пересекает любую эквипотенциальную поверхность и перпендикулярна ей (рис. 2.20).

Рассмотрим произвольную (не обязательно эквипотенциальную) поверхность  и замкнутый контур L, расположенный на ней (см. рис. 2.19). Если поток во всех точках является безвихревым,

Рис. 2.20. Ортогональность линий тока эквипотенциальным поверхностям

то согласно теореме Стокса Г_L = 0. Учитывая общее выражение (2.40) циркуляции, получаем

где _A = _A — значения потенциала скорости в точке A после обхода кон­тура и его исходное значение в этой точке соответственно.

Так как _A = _A, следовательно, после обхода контура значение потенциала скорости не изменилось. Иными словами, если поток внутри некоторой замкнутой области потенциален, то его потенциал скорости является однозначной функцией.

Если хотя бы в одной точке внутри контура поток является вихревым, то согласно теореме Стокса циркуляция не будет равна нулю (исключением является случай, когда вихри имеют разные знаки и таковы, что их суммарная интенсивность равна нулю) и в результате рассуждений, подобных приведенным выше, получим

_A = _A, + Г_L.

Следовательно, если внутри области потенциальность нарушается, то потенциал является функцией многозначной, изменяющейся на величину циркуляции после каждого обхода контура. При наличии вихрей внутри области она перестает быть односвязной. Подробнее этот случай изложен в работе [14 ].