2.6. Вихревые линии и трубки. Теорема гельмгольца. Образование вихрей

Рассмотрим случай, когда в каждой точке пространства, занятого движущейся жидкостью, вектор  отличен от нуля, т. е. все частицы вращаются. Для поля вектора  можно построить векторные линии. Назовем кривую, в каждой точке которой вектор  в данный момент направлен по касательной, вихревой линией. Тогда элементарные отрезки ds такой линии (рис. 2.11) будут служить мгновенными осями вращения тех жидких частиц, которые на них расположены. Очевидно, указанное движение возможно лишь благодаря деформациям вращающихся жидких частиц, поскольку вихревая линия, вообще говоря, криволинейна и в целом не может служить осью вращения конечного объема жидкости.

Дифференциальное уравнение вихревых линий легко получить из условия коллинеарности вектора угловой скорости  (_х, _y, _z) и элементарного направленного отрезка дуги вихревой линии ds (dx, dy, dz). Условие пропорциональности одноименных проекций этих векторов имеет вид

dx/_х = dy/_у = dz/_z,. (2.34)

Зная функции _x (х, у,z), _у (х, у, z), _z (х, у, z), из системы двух уравнений (2.34), можно найти конфигурацию вихревых линий.

Проведем через точки малого замкнутого контура dl (рис.2.12) вихревые линии. Полученную трубчатую поверхность будем называть элементарной вихревой трубкой, а совокупность ограниченных ею частиц — вихревым шнуром. Если площадь d до поперечного сечения вихревого шнура достаточно мала, то можно принять, что в его пределах вектор  имеет постоянное значение. Скалярное произведение dJ векторов  и d называется интенсивностью или напряженностью вихревой трубки и служит мерой вихревого движения:

dJ = d = _n d . (2.35)

Возьмем теперь произвольную поверхность  и, разбив ее на

Рис. 2.11. Вихревая линия Рис. 2.12. Вихревая трубка

элементарные площадки d, построим на каждой из них вихревую трубку. Суммарная интенсивность этих трубок представляет собой поток вектора  через поверхность 

( 2.36)

Величина

представляет собой поток вектора вихря  через поверхность  или просто поток вихрей.

Можно ввести понятие о конечной вихревой трубке, если провести вихревые линии через точки произвольного замкнутого контура L (рис. 2.13). В пределах поперечного сечения  такой конечной трубки вектор  будет, вообще говоря, переменным.

Докажем теорему Гельмгольца: поток вихрей через поперечное сечение вихревой трубки в данный момент времени постоянен по ее длине.

Выделим объем W, ограниченный боковой поверхностью _ вихревой трубки и двумя ее поперечными сечениями₁ и ₂ . Поток вихрей через поверхность  = ₁ + ₂ + _ можно представить в виде

Н а поверхности _   0, так как вектор  направлен по касательной к поверхности вихревой трубки. Следовательно, второй интеграл в правой части последнего равенства равен нулю. Кроме того, по теореме Гаусса—Остроградского

Поскольку  = (1/2) rot u и, как легко убедиться непосредственным вычислением, div rot u  0,

Таким образом,

Учитывая, что на поверхности ₁ нормаль n₁ направлена наружу объема W, заменим ее на внутреннюю —n₁. Тогда последнее соотношение можно переписать в виде

(2.37)

Риc. 2.13. Схема доказательства теоремы Гельмгольца

Рис. 2.14. Вихревые трубки:

а — замкнутая: б — с концами на границах области, занятой жидкостью

что и доказывает теорему Гельмгольца. Если вихревая трубка является элементарной, то в пределах каждого из сечений _n = const, тогда

_-n1₁ = _n2₂. (2.38)

Из уравнений (2.37) и (2.38) следует, что поскольку угловые скорости не могут быть бесконечно большими, ни в одной точке внутри жидкости площадь сечения вихревой трубки не может обратиться в нуль. Вихревая трубка не может также начаться или закончиться внутри жидкости конечным сечением. В самом деле, это означало бы, что при переходе частиц через такое сечение внутрь жидкости вектор  должен измениться скачком от конечного значения до нуля, что противоречит предложению о непрерывности поля скоростей. Вихревые трубки должны быть либо замкнутыми, имеющими вид вихревых колец (рис. 2.14. а), либо иметь концы, лежащие на границах области, занятой жидкостью (рис. 2.14, б). Вихревые трубки в виде колец можно наблюдать, например, при начальной стадии истечения жидкости через отверстие в среду той же плотности (рис. 2.15).

Структура вихревых движений реальных жидкостей многообразна. В некоторых случаях возникают крупные вихри, которые можно наблюдать визуально, если в жидкость ввести краску или специальные вещества. На рис. 2.16 приведен фотоснимок такого вихря, образующегося при обтекании острого ребра.

Н о вихревое движение не всегда сопровождается образованием визуально наблюдаемых вихревых шнуров. Например, при прямоли-

Рис. 2.15. Формирование вихревого кольца при истечении струи жидкости в среду той же плотности

Рис. 2.16. Вихрь, образующийся при обтекании заостренной кромки

нейном перемещении вязкой жидкости между неподвижными плоскими параллельными стенками (рис. 2.17) проекции ее скорости в системе координат ху равны и_x = f (у), u_y = u_z = 0, где f(у) — непрерывная функция, а проекции вектора угло­вой скорости  согласно выражениям (2.30) _x = _y = 0, _z = . Отсюда следует, что данное течение — вихревое, причем вектор  во всех точках параллелен оси z (нормален плоскости чертежа); при этом вихревые линии пред­ставляют собой прямые, нормальные линиям тока. Однако вихре­вая структура течения в данном случае визуально не наблю­дается. Движение данного типа может быть безвихревым, т. е. происходить без вращения частиц, только при f(у) = const. Последнее означает равномерность распределения скоростей по толщине потока (однородность поля), что в реальных условиях невозможно из-за прилипания вязких жидкостей к твердым стенкам.

Рис. 2.17. Вихревое движение жидкости между параллельными пластинами

Рис. 2.18. Схема для определения циркуляции скорости по замкнутому контуру

Течения реальных жидкостей между твердыми стенками, как правило, являются вихревыми и в других случаях. Наряду с упорядоченными элементарными вихрями, непрерывно распределенными в области течения, в таких потоках могут образовываться зоны, заполненные крупными, визуально наблюдаемыми вихрями, подобными показанным на рис. 2.16.