2.4. Уравнение неразрывности в криволинейных ортогональных системах координат

Решения некоторых технических задач основываются на использовании ортогональных криволинейных координат. Будем считать, что декартовы прямоугольные координаты х, у, z являются непрерывными функциями трех переменных q₁, q₂, q₃, которые примем за криволинейные координаты, т. е. х = х (q₁, q₂, q₃); y = y (q₁, q₂, q₃); z = z (q₁, q₂, q₃). Для вывода уравнения неразрывности выделим с помощью криволинейных координатных поверхностей элементарный фиксированный в пространстве объем dW с ребрами ds₁, ds₂, ds₃, расположенными вдоль координатных линий (рис. 2.7).

Из математики известно, что если q₁, q_2, q_3, образуют криволинейную ортогональную систему, то длины дуг ds₁, ds₂, ds₃ связаны с приращениями независимых переменных dq₁, dq_2, dq₃ соотношениями

ds₁ =H₁ dq₁; ds₂ = H₂ dq₂; ds₃ = H₃ dq₃ (2.20)

где H_i (i = 1, 2, 3) — коэффициенты Ляме;

Hi = (2.21)

Рис. 2.7. Схема для вывода уравнения неразрывности в криволинейной ортогональной системе координат

Пусть далее u₁, u₂, u₃ — проекции вектора местной скорости на оси q₁, q_2, q_3, в точке 0. Тогда в единицу времени через грань 1-2 протечет масса жидкости u₁ds₂ds₃ = u₁H₂H₃dq₂dq₃, а через противоположную грань 3-4 — масса жидкости u₁H₂H₃dq₂dq₃ + (u₁H₂H₃dq₂dq₃) dq₁.

Следовательно, разность масс, вытекшей из объема dW и поступившей в него в направлении оси q₁ за единицу времени, составит

(u₁H₂H₃) dq₁ dq₂dq₃.

В направлении двух других осей аналогичные разности масс имеют вид

С другой стороны, если в некоторый момент масса жидкости в объеме dW составляла ds₁ds₂ds₃ = H₁H₂H₃ dq₁dq₂dq₃ , то ее изменение в единицу времени составит

Приравнивая выражения для изменения массы в объеме dW (выражая закон сохранения массы), получаем

или

(2.22)

Для несжимаемой жидкости это уравнение имеет вид

(2.23)

Рассмотрим важный для практических приложений частный случай цилиндрической системы координат (рис. 2.8), полагая q₁= r, q₂ =, q₃ = z. При этом х = r cos , у = r sin , z = z. Для коэффициентов Ляме получаем выражения H₁ = 1, Н₂ =r, Н₃ = 1.

Уравнение неразрывности (2.22) принимает вид

(2.24)

Для несжимаемой жидкости

(2.25)

Уравнение (2.24) неразрывности применяют для решения задач теории турбомашин и др.

2.5. Общий характер движения жидкой частицы. Теорема коши-гельмгольца

Выясним, как происходит движение жидкой частицы и чем оно отличается от движения твердого тела. Для этого рассмотрим сначала произвольное движение твердого тела относительно некоторой системы координат х, у, z. Как известно из механики, такое движение можно разложить на перемещение тела вместе

Рис.2.8.Цилиндрическая (r, , z) и сферическая (R, , ) системы

координат

Рис. 2.9. Схема для вывода связи между скоростями двух точек движущегося тела

с некоторой его точкой М₀ и вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку (рис. 2.9). Тогда скорость произвольной точки М можно выразить через скорость u₀ точки М₀, и угловую скорость  следующим образом:

и  u_о +   r, (2.26)

где r (x, у, z ) = r— r_о — радиус-вектор точки М относительно точки М₀, причем r (х, у, z) и r₀ (х_о, y_о, z_о) — соответственно радиусы-векторы точек М и Mo относительно начала координат.

Согласно правилу проектирования векторного произведения получаем

u_x = u_0x + _yz — _zy =. u_0x +_y(z —z₀ )- _z(y— y₀);

u_y = u_0y + _zx — _xz =. u_0y +_z(x —x₀ )- _x(z — z₀); (2.26')

u_z = u_0z + _xy — _yx =. u_0z +_x(y —y₀ )- _y(х — x₀);

Выразим проекции вектора  через изменения скоростей u_x, u_y, u_z по координатам. Так, дифференцируя второе равенство системы (2.26') по z, а третье по у, находим

ди_у/дz = —_x и ди_z/ду = _x

откуда

_x = (ди_z/дy — ди_y/дz /2.

Аналогично получим

_y = (ди_x/дz — ди_z/дx /2.

_z = (ди_y/дx — ди_x/дy /2.

Эти формулы будем использовать при дальнейшем анализе движения жидкой частицы.

Очевидно, связь между скоростями точек движущейся жидкой частицы должна быть более сложной, так как в процессе движения

частица деформируется и расстояния между ее точками изменяются. Пусть тело W (рис. 2.9) представляет собой жидкую частицу. Выберем в ней точки М и М₀ достаточно близкими и разложим в ряд Тейлора мгновенные значения проекций и_x, u_y, и_z скорости в точке М, ограничиваясь линейными членами ряда. Для компоненты и_x имеем

где x, у, z — проекции вектора r, а индексом 0 отмечены значения производных в точке Мо.

Используя тождества

приведем выражение для u_x к виду

(2.27)

Не повторяя рассуждений, по аналогии выпишем формулы, которые можно получить для двух других компонент скорости:

(2.28)

(2.29)

Согласно правилу составления формул для проекций векторного произведения, вторые и третьи члены правых частей выражений (2.27)—(2.29) образуют проекции векторного произведения некоторого вектора  на радиус-вектор r, причем

(2.30)

Рис.2.10.Деформация жидких отрезков и углов

Сравнивая эти формулы с приведенными выше выражениями проекций вектора угловой скорости твердого тела, можно заключить, что жидкая частица, так же как и твердое тело, вращается с угловой скоростью ₁ (_x , _y , _z) относительно некоторой мгновенной оси.

В гидромеханике, наряду с вектором , вращение частиц характеризуют вектором  = 2 = rot u, который называется вихрем или ротором вектора u.

Как видно из выражений (2.27)—(2.29), для жидкой частицы формулой (2.26) определяется лишь некоторая часть вектора скорости и, которую можно назвать скоростью u_kт квазитвердого движения. Полная же скорость определяется формулами (2.27) —(2.29), которые можно представить в векторной форме:

u = u_kт + u_деф. (2.31)

где u_kт = u_о +   r; u_деф — скорость, обусловленная деформацией жидкой частицы.

Чтобы выяснить смысл вектора u_деф, рассмотрим некоторые частные случаи.

Пусть малый жидкий отрезок Δx (рис. 2.10, а) движется вдоль оси х. Если и_x — скорость его левого конца, то скорость правого конца будет и_x + (ди_x/дх) Δx. Из-за разницы этих скоростей за время Δt длина отрезка изменится на величину (ди_x/дх) Δx Δt, а скорость этого изменения будет (ди_x/дх) Δx. Следовательно, в формулах (2.27) — (2.29) члены вида (ди_x/дх) Δx, (ди_y/дy)Δy, (ди_z/дz) Δz представляют собой скорости удлинений соответствующих элементарных отрезков или, иначе, скорости линейных деформаций. Очевидно, производные ди_x/дх = _xx, ди_y/дy = _yy, ди_z/дz == _zz являются скоростями удельных линейных деформаций или скоростями удлинений отрезков единичной длины.

Теперь рассмотрим движение жидкого отрезка Δx вдоль оси у (рис. 2.10, б). Если скорость его левого конца и_y, то скорость правого и_y + ди_y/дх Δx . Из-за неодинаковости скоростей отрезок Δx за время Δt переместится и повернется на угол

Его угловая скорость будет Δ₁/Δt = (ди_y/дх). Рассуждая аналогично, можно убедиться, что угловая скорость отрезка Δу (рис. 2.10, в) равна ди_x/ду.

Вследствие вращения отрезков: Δx и Δу, образовывавших вначале прямой угол, произойдет угловая деформация частицы в плоскости ху. Скорость угловой деформации определится суммой ди_y/дх + ди_x/ду. В гидродинамике за меру скорости угловой деформации принимают половину этой суммы. Таким образом, приходим к выводу, что величины

(2.32)

характеризуют скорости угловых деформаций (или деформаций сдвига). Теперь формулы (2.27) — (2.29) можно переписать в виде

(2.33)

Эти формулы выражают теорему Коши—Гельмгольца : в общем случае движение жидкой частицы можно разложить на переносное вместе с некоторым полюсом, вращательное с угловой скоростью  вокруг мгновенной оси, проходящей через этот полюс, и деформационное, которое заключается в линейных деформациях со скоростями и угловых деформациях со скоростями _xx, _yy, _zz и угловых деформациях со скоростями _xy = _yx, _zy = _yz, _xz = _zx.

Следует отметить, что эта теорема указывает лишь на один из возможных способов разложения сложного движения жидкой частицы на простейшие составляющие. Однако он является физически наиболее обоснованным, так как определяет главные характерные особенности движения жидкой среды.

В частных случаях некоторые из составляющих движения могут отсутствовать. Особый интерес представляет движение частиц без вращения или безвихревое движение ( = 0), имеющее ряд замечательных свойств. Прежде чем переходить к его изуче­нию, выясним основные закономерности более общего, вихревого движения, когда   0.

__________________

Огюстен Луи де Коши (1789—1857) — французский математик. Инженер по образованию, он был автором многих фундаментальных исследований по разным разделам математики и механики (теория пределов, функции комплексного переменного, движение жидкостей и др.).

Герман Людвиг Фердинанд Гельмгольц (1821—1894) — немецкий физик, математик, физиолог и психолог, выполнил ряд выдающихся исследований по физике, механике и физиологии. Создал основы теории струйных и вихревых движений.