2.2. Линии и трубки тока. Расход жидкости

Наглядное представление о поле скоростей движущейся жидкости можно получить, если построить векторные линии этого поля, называемые в гидромеханике линиями тока. По определению линия тока есть кривая, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной. Очевидно, при установившемся движении линии тока во времени неизменны, тогда как при неустановившемся они в разные моменты

____________________

^ В действительности u_ не обладает всеми свойствами скалярного произведения, так как, например, u_  _u.

Рис. 2.2. Схема к построению линий тока и траекторий

могут иметь разную форму. Возможно, однако, и такое неустановившееся течение, при котором форма линий тока сохраняется, но изменяются местные скорости.

Уравнение семейства линий тока можно получить исходя. из их определения, согласно которому вектор местной скорости u (и_x, и_.у, и_z) должен быть коллинеарен направленному отрезку дуги линии тока ds (dx, dy, dz) (рис. 2.2, a).

Так как одноименные проекции коллинеарных векторов пропорциональны, то

dx/u_x = dy/ u_y = dz/ u_z. (2.8)

Соотношение (2.8), состоящее из двух независимых дифференциальных уравнений (третье уравнение является их следствием), определяет форму линий тока. При неустановившемся движении время t, от которого зависят u_x, u_y, u_z, рассматривается как параметр.

Выясним взаимосвязь между линиями тока и траекториями жидких частиц. Пусть в некоторой точке M₀ в момент t₀, скорость имеет значение u₀. Построим линию тока следующим образом. Отложим на векторе u₀ малый отрезок s₁ (рис. 2.2, б) и в точке М₁ построим присущий ей вектор u₁. Затем на этом векторе отложим отрезок s₂ и аналогично построим вектор u₂ и т. д. Важно подчеркнуть, что все построение выполняют для одного фиксированного момента времени t₀, а потому безразлично, является течение установившимся или неустановившимся. Если отрезки s_i примем достаточно малыми, то приближенно получим кривую, удовлетворяющую определению линии тока.

Попытаемся теперь подобным образом построить траекторию той жидкой частицы, которая в момент t₀ находилась в точке М₀. Пусть за малое время t₁ она проходит путь s₁ (рис. 2.2, в). В линейном приближении этот путь можно считать совпадающим с направлением вектора u₀. Тогда в конце интервала t₁ частица попадает в точку М₁. Если движение установившееся, то скорость в этой точке будет той же, какой она была в момент t₀. В этом случае частица далее переместится по направлению вектора u₁, достигнет точки М₂ и т. д. Очевидно, ее траектория совпадает с линией тока. Если же движение неустановившееся, то за время

t_ вектор u₁ изменится и к моменту перемещения частицы в точку M₁ ее скорость будет u₁. Следовательно, из точки M₁ частица направится вдоль вектора u₁ и не попадет в точку M₂ , поэтому траектория ее не совпадет с линией тока.

Таким образом, линии тока и траектории совпадают только при установившемся движении жидкости.

Обратим внимание на то, что линии тока не могут пересекаться ни в одной точке, где скорость не равна нулю или бесконечности (теоретически допускается сколь угодно большое значение скорости в отдельных точках). Действительно, если бы две линии тока пересекались в одной точке, где скорость конечна, то это означало бы, что частица, находящаяся в этой точке в один и тот же момент времени, имеет две разные скорости, что физически невозможно. Если же в данной точке и = 0 или и = , то через нее может проходить несколько или даже бесконечное множество линий тока. Такие точки называются критическими. Они являются особыми точками дифференциальных уравнений линий тока.

Кроме линий тока и траекторий иногда используют понятие линии отмеченных частиц. Так называют линию, на которой в данный момент расположены частицы, прошедшие в разное время через одну и ту же точку пространства. При установив­шемся движении линии отмеченных частиц совпадают с траекториями и линиями тока.

Введем еще одно важное понятие. Выберем в жидкости замкнутый контур l (рис. 2.3) и проведем через каждую его точку линию тока. Получим трубчатую поверхность, которую называют трубкой тока. Если контур l мал, то трубку тока называют элементарной. В пределах поперечного сечения элементарной трубки тока распределение скоростей жидких частиц принимают равномерным, а сечение считают плоским. Очевидно, жидкость не может протекать через боковую поверхность трубки тока, так как на ней u_n= 0.

Совокупность частиц, ограниченных поверхностью элементарной трубки тока, обычно называют элементарной струйкой, а поток конечных размеров рассматривают как совокупность элементарных струек. Таким образом, мы приходим к струйной модели потока жидкости.

Если поперечное сечение потока в каждой его точке нормально к вектору скорости, то его называют живым сечением. В общем случае живые сечения криволинейны, а распределение скоростей в них неравномерно. Такие сечения существуют не для всех потоков. Можно доказать, что условием существования живых сечений потока конечных размеров является соотношение u rot u = 0, т. е. ортогональность вектора скорости и его ротора.

Обозначим через dS вектор площадки (в векторном анализе элементарные площадки рассматриваются как векторные величины, направление которых определяется их нормалями, а модули равны их площадям) любого поперечного сечения элементарной

Рис. 2.3. Элементарная трубка тока

Рис. 2.4. Схема для определения объемного расхода

трубки тока (рис. 2.4). Составим скалярное произведение векторов u и dS:

udS = u ndS = u_n _dS,

где п — нормаль к площадке; u_n— проекция скорости на нормаль п.

Величина u_ndS будет положительной, если векторы u и n образуют острый угол, и отрицательной, если этот угол тупой.

Абсолютная величина u_ndS представляет собой объем dQ жидкости, протекшей через площадку dS за единицу времени. Действительно, вектор скорости можно разложить на составляющие: нормальную u_n и касательную и_s к площадке. При этом только нормальная составляющая u_n обусловливает протекание жидкости через площадку. За единицу времени протекает количество жидкости объемом | u_ndS | = dQ.

В дальнейшем величину dQ. будем называть объемным расходом элементарной струйки.

Рассматривая произвольное конечное сечение площадью S реального потока жидкости, определим

(2.9)

как объемный расход жидкости через это сечение.

Соответственно абсолютные значения величин

(2.10)

называют массовым расходом элементарной струйки и массовым расходом через поверхность площадью S.