2.3. Уравнение неразрывности (сплошности)

Закон сохранения массы для движущейся произвольным образом жидкости выражается уравнением неразрывности, или сплошности, которое является одним из фундаментальных уравнений гидромеханики. Для его вывода проведем в жидкости фиксированную в пространстве замкнутую поверхность S (рис. 2.5), ограничивающую объем W, и выделим на ней элемен-

Рис. 2.5. Схема для вывода уравнения неразрывности

тарную площадку dS. Через п обозначим единичный вектор внешней к S нормали. Тогда произведение u_ndS будет представлять собой массу, вытекающую из объема W или поступившую в него за единицу времени, в зависимости от направления скорости на площадке dS. Так как п внешняя нормаль, то u_n > 0 на тех площадках dS, где жидкость вытекает из объема W, и u_n< 0 на той части поверхности S, через которую она втекает в этот объем. Следовательно, интеграл представляет собой разность масс жидкости, вытекшей из объема и поступившей в него за единицу времени. Допустим, что внутри объема W есть источники или точки поглощения массы, в которых она генерируется или поглощается с быстротой  = d_ /dt (где _ — плотность жидкости в точках генерации или поглощения) в расчете на единицу объема.

Из-за неодинаковости притока и оттока массы через поверхность S, а также из-за притока или поглощения массы через источники, плотность ее в каждой точке будет изменяться с быстротой д / t, а изменение массы в объеме W за единицу времени равно .

Закон сохранения массы теперь можно выразить уравнением

(2.11)

Знак минус перед первым интегралом правой части взят потому, что этот интеграл положителен, если через поверхность S за единицу времени вытекает больше жидкости, чем втекает, что способствует уменьшению плотности во времени, т. е. обусловливает отрицательное значение левой части выражения (2.11). Иными словами, интегралы и всегда имеют разные знаки.

По теореме Гаусса-Остроградского

В векторном анализе сумма частных производных от проекций вектора по одноименным координатам называется дивергенцией или расхождением вектора. В данном случае

поэтому уравнение (2.11) можно переписать в виде

Так как объем W произвольный, подынтегральная функция равна нулю, т.е.

д/дt + div u = . (2.12)

Это уравнение является уравнением неразрывности в дифференциальной форме для произвольного движения сжимаемой жидкости. Соотношение (2.11) представляет собой интегральную форму уравнения неразрывности.

Если будем рассматривать условие сохранения массы движущегося жидкого объема, то придем также к уравнению (2.12), которому в этом случае можно придать иной вид.

Поскольку  =  (х, у, z, t) и при движении жидкого объема х = х (t), у = у (t), z = z (t), то

т. е. уравнение (2.12) будет иметь вид

или

(2.13)

где d/dt — индивидуальная производная плотности.

Следует подчеркнуть, что дифференциальные формы уравнения неразрывности дают связь между величинами в произвольной точке движущейся среды. Для точек, где нет генерации или поглощения массы,  = 0 и вместо выражения (2.13) будем иметь

(2.14)

В дальнейшем будем рассматривать только этот случай.

Для установившегося движения сжимаемой жидкости д/дt = 0 и, следовательно, из уравнения (2.12) при  = 0 получаем

div u = 0. (2.15)

Рис. 2.6. Схема для вывода гидравлической формы уравнения неразрывности

Для любого движения несжимаемой жидкости d/dt = 0. Тогда

(2.16)

В технических расчетах существенное значение имеет гидравлическая форма уравнения неразрывности (уравнение расхода).

Рассмотрим установившийся поток сжимаемой жидкости в трубе произвольной формы (рис. 2.6). Поверхностью S = S₁ + S₂ + S_ ограничим некоторый отсек жидкости в трубе. Согласно уравнению (2.11) при установившемся движении (д/дt = 0) и отсутствии источников ( = 0)

Так как боковая поверхность S_ непроницаема, то на ней u_n = 0 и, следовательно,

Принимая во внимание, что на поверхности S₁ нормали направлены наружу выделенного отсека и u_n = — u_-n где u_-n — проекция скорости на внутреннюю нормаль, запишем

Если поверхности S₁ и S₂ нормальны в каждой точке линиям тока, то, обозначив площади живых сечений потока в трубе через ₁ и ₂ и учитывая, что в сечении ₁ скорость u_-n = u₁, а в сече­нии ₂ скорость u_n = u₂, представим последнее уравнение в форме

(2.17)

выражающей равенство массовых расходов через живые сечения ₁и ₂.

Если эти сечения плоские, а распределение скоростей и плотностей в каждом из них равномерное, то из выражения (2.17) получаем

₁ ₁ u₁ = ₂ ₂ u₂. (2.18)

Для несжимаемой жидкости  = const и, следовательно,

u₁ ₁ = u₂ ₂

Отсюда видно, что объемный расход Q = u  несжимаемой жидкости остается постоянным вдоль трубы.

Если распределение скоростей в живом сечении неравномерное, то, вводя в рассмотрение среднюю скорость, определяемую отношением v = Q/, получим широко употребляемую в технических расчетах гидравлическую форму уравнения неразрывности

v ₁₁ = v ₂ ₂ (2.19)