Самостоятельная работа

Задание1: Выполнить линейные операции над векторами.

1. Д аны векторы:

Найти: 1) ; 2) ; 3) ; .

2. Даны векторы: Найти: 1) ; 2) ; 3) ; .

2. Даны три точки А(-1;1), В(3;-2), С(2;4). Найти векторы 1) 3)

3. Найти равнодействующую трех сил: и построить векторы.

ЗАНЯТИЕ 2.

Тема: ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ВЕКТОРА И ЕГО НАПРАВЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. СКАЛЯРНОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Пример 1. Даны на плоскости точки А(-2;3) и В(2;7). Найти 1) вектор , 2) модуль , 3) направляющие косинусы, 4) построить вектор .

Решение:

1. найдем координаты вектора :

выпишем его координаты АВ_х = 4, АВ_у= 4;

2. вычислим модуль по формуле: ;

3. вычислим направляющие косинусы по формулам:

4) построим вектор по его координатам

и координатам точек А(-2;3) и В(2;7).

Пример 2. Найти проекцию вектора на вектор .

Решение:

Пример 3. Определить работу по перемещению тела из точки А(2;-4;1) в точку В(3;2,-1) под действием сил: .

Решение:

1. Найдем вектор перемещения тела:

;

2. Вычислим равнодействующую трех сил:

.

3. Определим работу по перемещению тела, как скалярное произведение вектора равнодействующей силы и вектора перемещения:

А= = 4*1+6*6+(-2)*3=34 ед. работы.

Пример 4. Вычислить площадь треугольника с вершинами: А(3;1;2), В(4;3;5) и С(-8;2;3).

Решение: Так как ,

1. Найдем координаты векторов:

;

2. Определим векторное произведение:

=

3. Вычислим площадь треугольника:

кв. ед.

Самостоятельная работа

Задание 1.

1. Даны на плоскости точки М(3;-2) и N(-1;3). Найти 1) вектор , 2) модуль , 3) направляющие косинусы, 4) построить вектор .

2. Найти проекцию вектора на вектор .

3. Определить работу по перемещению тела из точки А(1;3;-2) в точку В(2;-1;4) под действием сил: .

4. Вычислить площадь треугольника с вершинами: А(-1;2;4), В(1;3;6) и С(-3;5;2).

3. Аналитическая геометрия

ЗАНЯТИЕ 1 и 2.

Тема: ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Пример 1. Даны две точки А(-1;2) и В(1;5). Найти: 1) длину АВ; 2)С(х_с;у_с) –середину АВ; 3)записать уравнение прямой АВ, 4)найти k- угловой коэффициент и b-отрезок оси Оу, отсекаемый прямой.

Решение:

1. Длина АВ= ;

2. Координата С(х_с;у_с) –середины АВ найдем по формуле:

. С(0;3.5) –середина АВ;

3. Запишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А и В: .

Подставим координаты точек А(х_А = -1, у_А = 2) и В(х_В = 1, у_В = 5) в это уравнение: 2(у - 2) = 3(х + 1) 2у - 4 = 3х + 3 -3х + 2у - 7 = 0. Получили общее уравнение прямой АВ.

3. Преобразуем полученное уравнение в уравнение прямой с угловым коэффициентом вида: у=кх+b. Выразим у через х: 2у=3х+7 /:2 у = (х +7) - это уравнение прямой АВ с угловым коэффициентом, где - угловой коэффициент АВ, а b= --отрезок оси Оу, отсекаемый прямой.

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки А и В можно рассчитать по формуле: .

Пример 2. Записать уравнение прямых, проходящих через точку С(-4;2) параллельно и перпендикулярно прямой, проходящей через точки А(3;-4) и В(2 -2).

Решение:

1. Найдем угловой коэффициент для прямой АВ:

.

2. Найдем угловой коэффициент для прямой из условия параллельности: .

3. Найдем угловой коэффициент для прямой из условия перпендикулярности: .

4. Запишем уравнения прямых и , используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку С с заданными угловыми коэффициентами:

;

.

Пример 3. Дан треугольник с вершинами А(-8;3), В(-6;0), С(6;-5). Составить уравнения 1) стороны АС, 2) высоты CD и 3) медианы ВЕ. 4) Найти координаты точки М(х_м;у_м) – пересечения высоты CD и медианы ВЕ.

Решение:

1. С оставим уравнение стороны АС, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

   14*(у - 3)=(-8)*(х + 8) 

8х + 14у + 22=0 – искомое уравнение стороны АС;

2. Высота CD АВ  .

Найдем и

Составим уравнение высоты CD, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку С(6;-5) с заданным угловым коэффициентом : - искомое уравнение высоты CD с угловым коэффициентом. Запишем его в общем виде, умножив обе части уравнения на 3: 2х-3у-27=0- общее уравнение высоты CD;

3. Медиана ВЕ проходит через середину стороны АС. Найдем координаты Е(х_Е;у_Е)-середины отрезка АС по формулам: . Е (-1;-1) - середина стороны АС.

Составим уравнение медианы ВЕ, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

   5у =-х-6 

х + 5у + 6=0 – искомое уравнение медианы ВЕ;