Решение задач

2. Элементы векторНой алгебРы

ЗАНЯТИЕ 1.

Тема: ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

Задание 1

1) Если векторы и коллинеарны, то следует ли отсюда что они сонаправлены? Если два вектора а и b сонаправлены, то следует ли отсюда что они коллинеарны? 2) Справедливо ли предложение: если вектор коллинеарен вектору , то вектор коллинеарен вектору и вектор коллинеарен вектору ?

3) Следует ли из равенства векторов = равенство отрезков AB = CD? Следует ли из равенства отрезков AB = СD равенство векторов = ?

4) Могут ли у двух равных векторов начала совпадать, а концы - нет?

5) Может ли нуль вектор быть равен какому-нибудь ненулевому вектору?

6) Могут ли два вектора, лежащие на перпендикулярных прямых, быть: а) коллинеарными, б) равными?

7) В пространстве даны три вектора, среди которых два - коллинеарны. Можно ли утверждать, что все три вектора компланарны?

8) В пространстве даны два вектора и . Всегда ли можно выбрать третий вектор , и были: а) компланарны; б) не компланарны?

9) Может ли модуль разности двух векторов быть больше как модуля вычитаемого, так и модуля уменьшаемого?

10. Мы должны знать, что векторные величины характеризуются абсолютным значением (модулем), направлением и геометрическим способом сложения - это самое важное в определении вектора, так как не все физические величины, имеющие модуль и направление, являются векторными. Например, сила тока имеет модуль и направление, но является скалярной величиной.

Задание 2: Выполнить действия над векторами геометрическими методами.

Пример 1 . Даны три вектора:

Найти: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) - сложение двух векторов геометрически выполняется:

а) методом треугольника:

б) методом параллелограмма:

2) - сложение трех векторов геометрически выполняется

методом многоугольника:

3) - вычитание векторов геометрически выполняются:

а) методом треугольника или параллелограмма:

б) методом треугольника с использованием противоположного вектора ( ), при этом вычитание заменяется на сложение векторов: = :

=

4) - умножение векторов на числа геометрически приводит к удлинению вектора ā в 2 раза, к укорочению вектора в 3 раза, а также к смене направления вектора на противоположное. Результирующий вектор , идущий из начала первого в конец последнего, находится методом многоугольника.

2*

-

Задание 3: Выполнить действия над векторами аналитически с помощью координат.

Пример 2. Даны векторы

.

Решение:

;

;

П ример 3. Даны 3 точки А(6;-2), В(-3;1), С(2;0). Найти векторы 1) 3)

Решение:

1. Найдем координаты векторов:

2. Выполним операции над векторами:

1)

2)

П ример 4. Найти равнодействующую двух сил и и построить векторы.

1. Найдем равнодействующую силу как сумму векторов:

2. Построим векторы по координатам.