Содержание дисциплины

Раздел 1. Функции одной переменной

Тема 1. Предел числовой последовательности

Понятие множества. Операции над множествами. Числовая последовательность. Ограниченные и монотонные последовательности. Предел последовательности. Теоремы о единственности предела. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Признаки существования предела. Сложные проценты и число е.

Тема 2. Функции

Понятия функции. Область определения и область допустимых значений функции. Сложная функция. Функция, заданная неявно. Обратная функция. Элементарные функции, их свойства и графики. Экспонента и проблема роста. Логарифмы. Оптимальное время хранения.

Тема 3. Предел функции, непрерывность

Предел функции. Теоремы о единственности предела. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства пределов: предел суммы, разности, произведения, частного. Признаки существования предела. Раскрытие простейших неопределенностей. Первый и второй замечательные пределы. Метод замены бесконечно малых функций эквивалентными. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Свойства непрерывных функций.

Тема 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Определение производной. Ее геометрический и экономический смыслы. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций. Производная сложной функции. Производная степенно-показательной функции. Производная функции, заданной неявно и параметрически. Производные высших порядков. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Касательная и нормаль к плоской кривой. Дифференциалы первого и высших порядков. Приближенное вычисление с помощью дифференциала. Экономические приложения к моделям сравнительной статики. Нахождение максимума прибыли. Эластичность функции и ее геометрический смысл. Применение эластичности в экономическом анализе.

Тема 5. Исследование функций

Применение дифференциального исчисления к исследованию функций: теоремы Ролля, Ферма, Лагранжа. Монотонность функции. Максимум и минимум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. Асимптоты функции. Схема полного исследования функции. Схематическое построение графиков. Приложения: деятельность фирмы. Суммарный, средний, предельный доход и издержки.

Раздел 2. Функции нескольких переменных

Тема 6. Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных. Область определения. Способы задания. Графическое изображение: линии и поверхности уровня. Предел функций нескольких переменных. Непрерывность в точке и области. Частные производные. Полный дифференциал. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Производная по направлению, градиент. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия. Условия второго порядка в связи с выпуклостью и вогнутостью. Множители Лагранжа. Эффекты ограничений. Условные экстремумы. Экономические приложения.