1.4 Контурные уравнения установившихся режимов электрических систем

Контурные уравнения выводятся на основе II закона Кирхгофа для всей сети:

, (44)

где Uв – вектор‑столбец падений напряжений по ветвям сети.

Закон Ома для сети в целом запишется:

(45)

Подставляя выражение для из (45) в (44), получим развернутую запись 2-го закона Кирхгофа для сети в целом:

(46)

Токи в дереве сети получим из выражения для 1-го закона Кирхгофа

[М_α] [I_α] + [М_] [I_] = [‑Jу] (47)

[I_α]= (48)

Ранее было получено, что (18). Если транспонировать подматрицу , получим:

(49)

С учетом этого выражение для токов дерева сети (48) упрощается:

(50)

Отсюда следует, что для нахождения токов в дереве сети [I_α] достаточно определить токи в хордах , то есть решить систему уравнений k-го порядка, где k – число независимых контуров, которое, как известно, k<n<m. То есть удалось существенно понизить порядок решаемой системы уравнений для расчета токораспределения в сети.

Выражение (50) отражает принцип наложения при расчете токов. Составляющая дает нам токораспределение в дереве данной сети без учета токов хорд, а вторая составляющая учитывает влияние токов хорд на токи в дереве сети. Тогда полное токораспределение в схеме соответственно определится:

(51)

Примем во внимание, что

(52)

-- есть вектор-столбец контурных ЭДС, представляющих собой алгебраические суммы ЭДС ветвей [Ев] по независимым контурам.

В выражение 2-го закона Кирхгофа (46) подставим токи ветвей [Iв] из (51) и из (52). Получим:

(53)

Раскроем скобки

(54)

Произведение матриц

=[Z_к] (55)

называют матрицей контурных сопротивлений. Подставим [Z_к] в (54) и упростим:

(56)

Выражение (56) имеет матрицу [Z_k] квадратную, неособенную. Оно связывает независимые режимные характеристики ([-J_y], [Е_к] = [N]∙[Е_В]), параметры и конфигурацию сети ( ) с зависимыми характеристиками - (токи хорд), и может быть решено относительно токов хорд .

= (57)

Тогда токи в дереве сети [I_α] определятся по (50) и задача нахождения токораспределения в линейной постановке, то есть при задании нагрузок в токах , решена полностью. Напряжения в узлах определятся по известному напряжению в балансирующем узле [Uб] и найденным токам ветвей I .

Матрица контурных сопротивлений (55) имеет также вполне регулярную структуру, как и матрица узловых проводимостей. Матрица контурных сопротивлений имеет порядок, равный числу независимых контуров. Ее диагональные элементы Z_ii представляют собой алгебраическую сумму сопротивлений ветвей, входящих в данный контур, а недиагональные Z_ij – алгебраическую сумму сопротивлений, общих для контуров i и j.

При использования принципа ярусности формируется система контуров, когда каждая хорда входит только в один контур и направление обхода по контуру совпадает с направлением тока в хорде ‑ тогда матрица N_ ‑ единичная.

Проанализируем соотношение между диагональными и побочными элементами матрицы контурных сопротивлений.

(58)

Для так называемой канонической системы контуров

т.е.

(59)

Всегда обеспечивается преобладание диагонального элемента z_ij над суммой недиагональных элементов Z_ij.

Как указывалось выше, система уравнений (56) может решаться путем обращения матрицы Z_к по выражению (57) или любым другим способом решения системы линейных уравнений, а именно: группа методов исключения неизвестных (метод Гаусса), или итерационными методами решения систем линейных уравнений, т.е. методом простой или ускоренной итерации. Особенностями системы контурных уравнений установившихся режимов по сравнению с системой узловых уравнений является более низкий порядок решаемой системы, т.к. (k << n) число контуров в схеме значительно меньше числа узлов в сети.

Но при решении линейных контурных уравнений итерационным методом начальные приближения неизвестных ‑ токов хорд ‑ не определены, отсутствуют данные для более или менее точного задания токов хорд. По сравнению с системой контурных уравнений, для системы узловых уравнений при их решении итерационным методом относительно напряжения в узлах, выбор начальных приближений облегчен, U_начU_б или U_начU_ном.

В целом задача расчета режима реальной электрической сети с большим числом элементов остается многомерной. Контурные уравнения также нелинейны при задании нагрузок в мощностях.

Вопросы для самопроверки:

1. На основе каких законов электротехники выводятся контурные уравнения установившихся режимов электрической сети?

2. Что выражают контурные уравнения?

3. На какие подматрицы разделяются матрицы параметров электрической сети, параметров режима и матрицы инциденций?

4. В чем суть принципа наложения, применяемого при записи токов в дереве сети?

5. Как определить(записать) алгебраическую сумму падений напряжений по ветвям дерева сети?

6. Каковы свойства канонической системы независимых контуров?

7. Порядок расчета режима по методу контурных уравнений при задании нагрузок в токах.

8. Порядок расчета режима по методу контурных уравнений при задании нагрузок в мощностях.

9. Дайте характеристику матрицы контурных сопротивлений.

10. Влияет ил выбор базисного узла на свойства матрицы контурных сопротивлений?