1.3.2 Определение матрицы узловых проводимостей и ее характеристика

Матрица коэффициентов системы уравнений узловых напряжений [Y] квадратная (в силу способа ее получения) неособенная, симметрическая, n-ого порядка. Для схем переменного тока матрица [Y] имеет комплексные элементы или, что равносильно, распадается на две вещественные матрицы Y = Y' - jY''. Для реальных схем электрических сетей матрица [Y] – слабозаполненная, т.е. содержит много нулевых элементов. Из n² ее возможных элементов только 4n элементов являются ненулевыми. Действительно, принимая, что число ветвей схемы m  1,5n, получим:

- n диагональных элементов y_ii;

- m побочных элементов y_ij;

- m симметричных побочных элементов y_ji.

При разработке алгоритмов и промышленных программ используют методы компактного хранения этой симметрической слабозаполненной матрицы, исключающие действия с ненулевыми элементами. Это снижает требуемый объем памяти ПЭВМ и повышает быстродействие программ, что остается актуальным и до настоящего времени, несмотря на большие ресурсы и быстродействие современных ПЭВМ.

Получим матрицу узловых проводимостей для конкретной схемы электрической сети.

2

3

II

2

1

1

4

БУ

I

М_бу

3

3

(40)

Рис. 1

(41)

Как видим, матрица узловых проводимостей квадратная, симметричная. Ее диагональные элементы y_ii представляют суммы побочных элементов строки (или столбца) y_ij, взятые с противоположным знаком, и называются собственными проводимостями узлов. Ее побочные элементы y_ij представляют проводимости ветвей между узлами i и j и называются взаимными проводимостями узлов; если между узлами i и j непосредственная связь отсутствует, то y_ij = 0, поэтому матрица [Y] – слабозаполненная (или разреженная).

Матрица узловых проводимостей [Y_Σ] для схемы электрической сети, включая балансирующий узел, обязательно вырожденная в силу способа ее получения, и в этом легко убедиться – сумма элементов строк или столбцов Y_y равна 0. Поэтому, когда в схеме назначается балансирующий узел, для которого не составляется узловое уравнение, (т.е. удаляется строка из матрицы Y_y ) то матрица Y обязательно оказывается невырожденной

При удалении строки, соответствующей балансирующему узлу, порядок матрицы Y понижается. Для большинства строк матрицы имеет место

y_ii = y_{ij (42)}

и только для узлов, имеющих связь с балансирующим, имеет место соотношение

y_ii = y_ij + y_iб > y_ij,

то есть диагональный элемент оказывается больше суммы побочных элементов. Это обстоятельство имеет решающее значение для сходимости итерационных методов решения узловых уравнений. Здесь i, j – номера узлов, ограничивающих ветви с проводимостями y_ij

Можно ветви и соответствующие им проводимости записать с индексами ветвей в массиве ветвей.

Матрица узловых проводимостей содержит полную информацию о конфигурации и параметрах электрической сети и может быть составлена непосредственно по схеме сети, минуя процедуру перемножения матриц.

В общем случае для схемы переменного тока проводимости ветвей носят комплексный характер, и матрица Y содержит комплексные элементы.

Поэтому

(43)

Для схемы n-ого порядка в общем случае матрица узловых проводимостей получится:

Вопросы для самопроверки:

1. На основе каких законов электротехники выводятся узловые уравнения установившихся режимов?

2. Что выражают левая и правая части уравнений узловых напряжений и система узловых уравнений в целом?

3. Какая связь между переменными U_ и Uy?

4. Чем отличаются системы узловых уравнений, составленные относительно напряжений U_ и Uy?

5. Как связаны переменные U_ и U ?

6. Как определяются проводимости ветвей схемы замещения электрической сети?

7. Как определяются элементы матрицы узловых проводимостей?

8. Как соотносятся знаки элементов матрицы Yy?

9. Каково соотношение между диагональными и побочными элементами матрицы Yy?

10. Сформулируйте основные свойства матрицы узловых проводимостей.

11. Задание: Составьте матрицу узловых проводимостей непосредственно по схеме сети, минуя процедуру умножения по (29), опираясь на свойства матрицы. Для этого составьте самостоятельно схему из 4-5 узлов.