2.2.2 Факторы, влияющие на сходимость итерации для узловых уравнений установившихся режимов

Схемным фактором, влияющим на сходимость итерационного процесса, являются продольные и поперечные емкости линий сети с проводимостями y_c, имеющими противоположные по отношению к индуктивным сопротивлениям ветвей х_L знаки (как и реактивные сопротивления).

(112)

Диагональный элемент

(113)

В схеме может не быть продольной емкостной компенсации (ПЕК) индуктивного сопротивления линии и шунтовой конденсаторной батареи (ШКБ).

Наличие поперечной емкостной ветви на землю способствует размаху колебаний напряжений в данном узле в итерационном процессе (если итерационный процесс для математической модели режима рассматривать как соответствующий переходный процесс при отклонении напряжений в узлах на U_⁽⁰⁾ в электрической сети). Тогда можно сказать, что итерационный процесс происходит пошаговым методом, где шаг соответствует одной итерации.

1) 2)

P-j(Q-Q_кy)

I_л

У_с12/2

U_i

У₁₂/ (I²R_л)

U

P-jQ

Емкости на землю имеются у всех ВЛ и КЛ. Они обеспечивают баланс реактивной мощности в системе и в целом благотворно влияют на режим электрической сети. Но созданные данными емкостными проводимостями мощности Q_c зависят от квадрата напряжения Q_c = У_сU² и по аналогии с ШКБ способствуют размаху колебаний напряжения на линии в ходе итерационного процесса. Соответственно, и при определении диагонального элемента матрицы, емкостная проводимость на землю способствует появлению соотношения (113). Для линейных систем узловых уравнений наличие емкостей – это тот основной схемный фактор, который ухудшает сходимость. В сетях электрических систем нагрузки задаются в мощностях. При этом соответствующие уравнения нелинейны, и возникают режимные факторы, ухудшающие сходимость.

2.2.3 Критерии и анализ сходимости итерации для нелинейных систем узловых уравнений установившихся режимов

Матричные нелинейные узловые уравнения в форме баланса токов в узлах

(114)

могут быть представлены в виде вектор‑функции небаланса F(U), которая обращается в 0 при подстановке в левую часть точного решения системы – вектора напряжений узлов [U].

В общем виде эти уравнения запишутся в виде

F(U) = 0 (115)

Обобщенная запись системы нелинейных уравнений.

F(X) = 0, (116) где

(117)

Нелинейная система (117) готовится к итерации в виде рекуррентного соотношения.

Х = (x), (118)

где  ‑ оператор рекуррентного соотношения (или оператор нелинейного отображения). Вспомним: х =  + х – для линейных систем

Критерии сходимости при решении системы нелинейных уравнений формируется не для матрицы постоянных коэффициентов системы уравнений(115-117), а для матрицы, составленной из частных производных от оператора нелинейных отображений  (₁,₂,₃…,_n) по искомым переменным Х. Эта матрица состоит из элементов и называется матрицей Якоби

(119)

Матрица частных производных [J] для частного случая линейных систем уравнений соответствует матрице  системы, подготовленной к итерации. Поэтому критерии сходимости сформулированы аналогично теореме сходимости итераций для линейных систем уравнений: также можно сформулировать достаточные условия (по норме матрицы Якоби) и необходимые и достаточные условия (по наибольшим собственным значениям матрицы Якоби _maxJ).

Теорема: для сходимости итерационного процесса решения нелинейной системы F(х) =0 с помощью рекуррентного соотношения х =  (х) необходимо и достаточно, чтобы на всей траектории итерационного процесса от начального приближения [х]⁰ до решения [х]^* выполнялось условие:

Это условие и есть необходимое и достаточное, а условие по норме матрицы Якоби

- достаточное условие сходимости.

Для проверки (анализа) влияния нелинейности уравнений на сходимость итерационного процесса, запишем рекуррентное соотношение типа (118) в виде (120)

U = (U) и возьмем частные производные для составления матрицы Якоби (119).

(120)

(121)

Сопоставляя матрицу Якоби, для которой анализируется сходимость нелинейной системы уравнений, с матрицей  (линейной системы, подготовленной к итерации) замечаем, что отличие состоит в диагональном элементе: у матрицы  _ii = 0, у матрицы Якоби

(122)

Анализ выражений (121), (122) показывает, что для слабо загруженных режимов с малыми нагрузками P_i и большим y_ii (малым сопротивлением подходящих линий) влияние нелинейности на сходимость мало.

Напротив, при расчете тяжелых режимов P_i велико, U_i мало, влияние нелинейности на сходимость существенно, поэтому сходимость тяжелых режимов (режимов, близких к предельным по условиям статической устойчивости электрической системы) медленная.

Поэтому расходимость итерационного процесса (при правильно закодированных исходных данных) служит признаком нарушения статической устойчивости в рассчитываемом режиме.

Посмотрим количественно

U_н = 110 кВ

Р_i =20 МВт

Рис. 6

Зададимся падением напряжения 10%U_ном = 10 кВ.

Диагональный элемент матрицы Якоби в начальном приближении

Как видно, в ходе итерационного процесса диагональный элемент возрастает с 0,1 до 0,125. Для всей сложной схемы, когда таких диагональных элементов много, это может приблизить _max к 1, или _max > 1, и степенной матричный ряд с таким основанием не сойдется.