Расчет режима электрической сети по узловым уравнениям путем обращения матрицы узловых проводимостей

Узловые уравнения в матричной форме имеют вид:

, (1)

отсюда , (2)

где - обратная матрица узловых проводимостей,

- матрица падений напряжения в узлах относительно балансирующего узла.

Находим обратную матрицу узловых проводимостей:

Произведем проверку:

, т.е.

Что мы и можем наблюдать на самом деле.

Найдем падения напряжения в узлах относительно балансирующего узла по формуле:

₍₃₎

(кВ)

Теперь найдем напряжения в узлах, используя формулу:

, (4)

где - единичная матрица-столбец, а U_б=115,5;

(кВ)

Находим падения напряжения в ветвях:

[∆U_B]= [M^T]· [U_∆] (5)

(кВ)

Найдем токи в ветвях:

[I_B]= [dY_B]· [M^T] ·[U_∆]=[dY_B] ·[∆U_B] (кА); (6)

(кА)

Произведем проверку полученных результатов согласно условию

[M]· [I_B]= [-J]; (7)

(кА)

Баланс токов по I-му закону Кирхгофа обеспечивается. Это означает, что расчет произведен верно.

Вопросы:

1. Как по приведенным затратам вручную определить ток 2-ой ветви дерева?

2. Что собой представляет каждая строка произведения (М·I_B)? Получите для схемы (рис. 2.1) вторую строку (М·I_B). Четвертую строку.

Расчет режима электрической сети на основе линейных контурных уравнений

Контурные уравнения имеют вид:

, (1)

где [Z_k] – матрица контурных сопротивлений;

[I_k] – матрица контурных токов.

Обозначим матрицу через К. Эта матрица имеет следующий вид:

(2)

Вычислим левую часть уравнения, обозначив её через Т:

Т= ; (3)

Решим получившуюся систему путем T=Z_K·I_K обращения матрицы контурных сопротивлений, получим [I_k] (кА):

(кА)

(4)

, где - матрица токов в хордах схемы.

Найдем токи в ветвях дерева по формуле:

, (5)

(кА)

Полная матрица токов ветвей будет выглядеть следующим образом:

кА

Падения напряжения в ветвях схемы найдем по следующей формуле:

(кВ) (6)

(кВ)

Найдем падения напряжения в узлах относительно балансирующего узла:

, (7)

где [Ua] – матрица падений напряжений на ветвях дерева схемы:

(кВ)

(кВ)

Найдем напряжения в узлах схемы:

, (8)

где U_б – напряжение базисного узла, равное 115,5 кВ;

(кВ)

Определим расчетные токи Jr и расчетные мощности Sr в узлах сети как сумму токов (мощностей), сходящихся в узлах по ветвям сети, по формулам:

[J_расч]=[M] [Iв]; (9)

[S_расч]=[dUy] [J_расч]. (10)

где [dUy] – диагональная матрица напряжений в узлах сети.

(кВ)

(кА)

(МВа)

Определим небаланс мощности в узлах S_нб как разность между векторами заданных узловых мощностей и расчетной мощностью Sr, подтекающей к узлу по ветвям при вычисленных значениях напряжений:

[S_нб]=[S] - [Sr]; (11)

(МВа)

(МВт)

Погрешность составляет:

%

Небалансы мощности в узлах сети обусловлены приближенным определением расчетных мощностей при недостоверных значениях напряжений узлов [U_у], вычисленных по токораспределению первого приближения , которое, в свою очередь, определено в функции задающих токов начального приближения I⁰_yi = .

3. Расчёт режима электрической сети по узловым уравнениям при задании нагрузок в мощностях с использованием итерационных методов покажем на примере работ студенток Петрусевич О. и Черонко И.

Решение уравнений узловых напряжений можно найти, используя точные методы, в случае задания нагрузок узлов задающими токами, поскольку уравнения узловых напряжений при этом представляются линейными уравнениями первой степени. Точные методы гарантируют получение решения в результате конечного числа арифметических операций.

При задании нагрузок узлов схемы в виде мощностей, уравнения установившегося режима превращаются в нелинейные уравнения второй степени. Решить систему таких уравнений, используя точные методы, невозможно, решение осуществляется итерационными методами (методами последовательного приближения). Отличительной особенностью итерационных методов решения систем уравнений является возможность получения как сходящегося, так и расходящегося итерационного процесса. Отсюда следует преимущество методов прямого расчёта над итерационными, для которых есть зависимость объема необходимых арифметических вычислений не только от порядка системы уравнений (числа неизвестных узловых напряжений), но и от заранее неизвестного числа шагов-итераций, на котором сойдётся итерационный процесс решения.

В матричной форме уравнения узловых напряжений имеют вид:

. (1)

При задании нагрузки в мощностях эти уравнения запишутся в виде:

, (2)

где

. (3)

Если выражение (3) подставить в (2) мы получим:

, (4)

или

. (5)

Разрешив выражение (5) относительно напряжений узлов U_y, получаем после некоторых преобразований систему нелинейных обращенных узловых уравнений:

. (6)

Обозначив Y_y^-1 через Z_y, получим:

.