2.3 Решение уравнений узловых напряжений итерационными методами

2.3.1 Решение уравнений узловых напряжений в форме баланса токов

Матричное уравнение:

;

где .

представим в алгебраической форме:

;(123)

Уравнения системы разрешим относительно диагональных неизвестных :

(124)

Для итерационного решения необходимо выбрать начальное приближение падений напряжений и подставить в правую часть системы (124). Получим , затем подставим его в правую часть, получим и т.д. Процесс может вестись по методу простой или ускоренной итерации.

По методу ускоренной итерации для нахождения k-го переменного в i-ой итерации используются переменные , … , вычисленные на этой же i-ой итерации и переменные k+1, k+2,…,n , вычисленные на предыдущей (i-1)-ой итерации.

(125)

Аналогично организуется итерационный процесс расчета напряжений узлов [Uу] на базе уравнений (108), записанных для напряжений узлов.

Решение нелинейных узловых уравнений можно записать, использую обратную матрицу Y^-1.

Используя эти уравнения, получим:

(126)

Выражение (126) имеет большое прикладное значение в области расчетов установившихся режимов. Оно называется обращенной формой уравнений узловых напряжений и представляет собой самостоятельный метод расчета режимов.

2.3.2 Обращенная форма уравнений узловых напряжений и их анализ

Обратную матрицу Y^-1 в выражении (126) обозначают через Z и называют матрицей соответственных взаимных сопротивлений.

Y^-1=Z

Тогда

(127)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (128)

или в общем виде:

,

i,j = 1,2,…,n;

Чтобы использовать схему расчета (126) и (128), надо предварительно обратить матрицу узловых проводимостей, после этого процесс получения решения (нахождение U₁, U₂, …U_n) происходит гораздо быстрее, чем итерационное решение системы исходных нелинейных уравнений (15).(Этот факт может иметь и физическое толкование).

Итерационная процедура решения нелинейных обращенных уравнений следующая:

1. Задаемся начальными приближениями напряжений U_i, например U_i=U_ном, и подставляем их в знаменатель в правую часть (128). Выполняем необходимые вычисления согласно (128), в результате находим вектор первого приближения. Здесь Z и S в общем случае имеют комплексный характер. Во втором приближении в знаменатель (128) подставляются значения напряжений U_i⁽¹⁾ первой итерации, находится U_i⁽²⁾ после чего выполняется третья итерация и т.д. Итерационный процесс заканчивается, когда разность напряжений между двумя соседними приближениями меньше заданной точности.

(129)

Итерационная процедура определения напряжения по обращенным уравнениям может быть ускорена, если на k-той итерации для расчета i-того неизвестного принимать из этой же k-той итерации, а остальные неизвестные U_i+1 брать из (k-1) итерации, т.е.

(130)

Физический смысл элементов матрицы собственных и взаимных сопротивлений [Z] можно уяснить, если рассмотреть частные режимы работы сети, в которых нагрузки узлов последовательно задаются единичными токами при холостом ходе в остальных узлах сети.

Систему уравнений (128) можно представить в виде

(131)

Из выражения (131) следует, что элементы матрицы узловых сопротивлений Z_ij представляют собой коэффициенты частичного падения напряжения, или коэффициенты влияния тока нагрузки в j-том узле на напряжение в i-том узле.

Действительно, если взять сложную схему сети, представляющую собой связанный направленный граф, т.е. одно дерево со своими хордами, то в этой схеме действительно ток нагрузки каждого узла влияет на напряжение во всех узлах. Физический смысл и количественное значение элементов z_ij можно уяснить (и рассчитать z), если рассмотреть частные режимы данной сети, в которых последовательно все токи, кроме одного, отсутствуют, а в выбранном узле мощность нагрузки такова, что ток равен 1. Естественно, что матрица узловых проводимостей Y и обратная к ней Z зависят только от пассивных параметров сети, т.е. от ее схемы и сопротивлений или проводимостей ветвей. Эта матрица остается неизменной при изменении нагрузок в узлах.

В частных режимах

I₁=1; I₂,I₃,…,I_n=0

(132)

;

…………………………………….

;

Рассчитав такой режим по любой программе расчета установившихся режимов, можно сразу получить весь столбец матрицы Z_i1 (1-й столбец - при I₁ = 1, 2-й столбец Z_i2 – при расчете второго четного режима при I₂ = 1 и т.д.). Т.е. получается, что элементы матрицы узловых сопротивлений можно найти с помощью программ расчета установившихся режимов по результатам расчетов на ЭВМ n-частных режимов с единичными токами в узлах поочередно. Процедура нахождения Z путем прямого обращения Y или вышеописанным путем громоздкая, но вычисленная один раз, матрица Y^-1 обеспечивает быстродействие расчетов режимов и поэтому ее применение эффективно в задачах, где надо считать много режимов одной сети с различными нагрузками (задачи оптимизации режима и т.д.).

После того, как напряжения в узлах сети найдены, остальные параметры режима рассчитываются безитерационным путем (см. выше).