- •Методическое пособие к курсовой работе по дисциплине «Математические задачи энергетики»
- •Содержание
- •Уравнения установившихся режимов электрических систем
- •1.1 Понятие о режимах электрических систем и схемах замещения
- •1.2 Аналитическое представление информации о конфигурации электрической сети с помощью матриц инциденций и матричное выражение законов Кирхгофа
- •Первая матрица инциденций «узлы-ветви» и ее применение для записи 1-го закона Кирхгофа
- •Вопросы для самопроверки:
- •1.2.2 Вторая матрица инциденций «ветви-контуры» и матричная запись второго закона Кирхгофа
- •1.2.3 Запись уравнений состояния сети по законам Кирхгофа
- •1.3 Метод уравнений узловых напряжений
- •1.3.1 Вывод узловых уравнений
- •Здесь [м]т – транспонированная 1-я матрица инциденций,
- •1.3.2 Определение матрицы узловых проводимостей и ее характеристика
- •1.4 Контурные уравнения установившихся режимов электрических систем
- •Запись уравнений состояния сети с помощью матриц обобщенных параметров.
- •Вопросы для самопроверки
- •1.6 Расчёт режима электрической сети с использованием матрицы коэффициентов распределения
- •Расчётные токи в узлах сети можно определить как:
- •2. Методы решения уравнений установившихся режимов электрических систем
- •2.1 Итерационные методы решения систем уравнений
- •2.2 Критерии сходимости итерации и анализ их выполнения для узловых уравнений установившихся режимов
- •2.2.1 Теорема сходимости итерации
- •2.2.2 Факторы, влияющие на сходимость итерации для узловых уравнений установившихся режимов
- •2.2.3 Критерии и анализ сходимости итерации для нелинейных систем узловых уравнений установившихся режимов
- •2.3 Решение уравнений узловых напряжений итерационными методами
- •2.3.1 Решение уравнений узловых напряжений в форме баланса токов
- •2.3.2 Обращенная форма уравнений узловых напряжений и их анализ
- •2.4 Применение метода Ньютона для решения для нахождения корней уравнений установившихся режимов
- •2.4.1 Обоснование метода Ньютона для решения нелинейного уравнения
- •2.4.2 Применение метода Ньютона для систем нелинейных уравнений
- •2.4.3 Решение нелинейных узловых уравнений методом Ньютона.
- •III. Задание на курсовую работу
- •Содержание расчетно-пояснительной записки (перечень подлежащих разработке вопросов)
- •Перечень графического материала (в виде компьютерных рисунков в формате а4)
- •IV. Примеры для выполнения разделов курсовой работы
- •С бу оставляем граф-схему замещения электрической сети и нумеруем её ветви и узлы (ребра и вершины) в соответствии с принципом ярусности:
- •Составление элементарных матриц параметров режима [pу], параметров сети [dZв],[dYв] и матриц соединений [м] и [n].
- •Расчёт матрицы узловых проводимостей [Yy] и матрицы контурных сопротивлений [Zk]. Расчёт матрицы узловых проводимостей [Yy] (См) (без учёта балансирующего узла) производим по формуле:
- •Расчет режима электрической сети по узловым уравнениям путем обращения матрицы узловых проводимостей
- •Расчет режима электрической сети на основе линейных контурных уравнений
- •Решение нелинейных обращенных узловых уравнений с матрицей- методом простой итерации.
- •Затем по выражению (8) проверяется точность вычислений:
- •Пример расчета:
- •Третья итерация:
- •Пример расчета:
- •В общем виде итерационный процесс можно записать в виде
- •Третья итерация:
- •Итерационный процесс закончен!
- •Заключение Литература
Третья итерация:
(кВ);
Итерационный процесс закончен!
Решение нелинейных узловых уравнений методом Ньютона.
Его основное преимущество — быстрая сходимость. Решение системы уравнений методом Ньютона сходится значительно быстрее, чем при решении этой же системы методами простой и ускоренной итерации, однако он более трудоёмок на каждой итерации.
Для реализации решения узловых уравнений методом Ньютона, исходные узловые уравнения представим в форме баланса токов
(13)
Запишем вектор-функцию небаланса токов в узлах W(U):
(14)
Запишем матрицу Якоби. Ее элементы составлены из частных производных от составляющих вектор-функции небаланса Wi по искомым узловым напряжениям Ui:
. (15)
Итерационная формула метода Ньютона запишется в виде:
, (16)
где
. (17)
Точность проверяется следующим образом: (18)
Пример расчета:
1
4
VII
I
VI
3
IV
5
БУ
1
2
V
3
II
III
2
В выражении (15) учтем узловые мощности с их знаками (Pн < 0, Pг > 0), получим матрицу Якоби для схемы рис.
Зададимся начальным приближением.
Обозначим:
и
Первая итерация:
Обратная матрице [V]
Подставив данные, получим поправку к напряжениям в узлах на первой итерации
,
(кВ).
Вторая итерация:
Обратная матрице [V]
Итерационный процесс закончен!
После нахождения напряжений в узлах определяем параметры режима ветвей электрической сети.
Расчет режима электрической сети.
1. Определяются падения напряжение в узлах относительно напряжения в балансирующем узле:
, (19)
где
— напряжения в узлах;
n — единичная матрица-столбец.
2. Определяются токи ветвей:
, (20)
где
— диагональная матрица проводимостей ветвей;
— транспонированная матрица инциденций.
3. Определяются падения напряжения на ветвях схемы:
(21)
4. Определяются потоки мощности в ветвях:
, (22)
5. Определяются потери мощности в ветвях:
. (23)
6. Определяются суммарные потери мощности в сети:
. (24)
7. Определяются расчетные токи узлов:
. (25)
8. Определяются расчетные мощности в узлах:
, (26)
где
— диагональная матрица напряжений в узлах.
9. Для каждого узла определяется небаланс по мощности:
, (27)
и в %:
, (28)
где
— рассчитанная мощность,
— заданная мощность.
3.4 Расчет потокораспределения сети на основе рассчитанных узловых напряжений приведен из работы студента ….
Для автоматизации расчета потокораспределения эффективно используется разделение матрицы инциденций М+ + М- =М
Рассчитаем потокораспределение в схеме и потери мощности в ветвях схемы замещения электрической сети. Для этого рассмотрим матрицу инциденций МΣ, составленную с учетом балансирующего узла, а также вектор-функцию узловых напряжений с учетом балансирующего узла:
Представим матрицу в виде двух составляющих матриц - для подтекающих оттекающих ветвей:
(5)
= +
Получаем следующие соотношения:
Где вектор-столбец напряжений начал ветвей;
вектор-столбец напряжений концов ветвей;
диагональная матрица токов в ветвях схемы;
вектор-столбец потоков мощностей в началах ветвей;
вектор-столбец потоков мощностей в концах ветвей;
вектор-столбец потерь мощности в ветвях схемы.
Имеем:
Error: Reference source not found
3.5 Расчет утяжеленного режима с применением матриц обобщенных параметров электрической сети.
У равнения состояния электрической сети по законам Кирхгофа:
(1)
В выражении (1) все матрицы имеют известную структуру. Представим (1) в виде матричного уравнения с составной блочной матрицей коэффициентов и составной правой частью:
(2)
или, приняв очевидное обозначение , запишем
(3)
Здесь вектор-столбец независимых (заданных) характеристик режима;
искомые токи ветвей;
составная матрица коэффициентов, содержит обе конфигурационные модели сети M и N и параметры сети dZb.
Система уравнений (2), (3) имеет порядок (n+k), равный числу ветвей схемы m. Матрица квадратная, блочная, в общем случае невырожденная, обратную к ней матрицу также представим в виде блоков:
(4)
Тогда токи ветвей из (3) выразятся
(5)
(6)
Обозначим произведение через Y –матрицу проводимостей.
Тогда (7)
Выражение (7) позволяет получить токораспределение в схеме с помощью матриц обобщенных параметров C и Y.
По выражению (7), реализующему принцип наложения (суперпозиции), токораспределение в схеме представляет собой сумму двух составляющих: обусловленной задающими токами узлов сети; и обусловленной наличием ЭДС в ветвях схемы. Особенность ситуации состоит в том, что в электрических сетях режим задают чаще всего узловыми токами Iy или мощностями Sy, а ЭДС в ветвях отсутствуют. Тогда уравнение (7) получает вид:
(8)
Мы получаем частный случай уравнения состояния, где С –матрица коэффициентов распределения. Матрица коэффициентов распределения С прямоугольная. Ее элемент Cij показывает долю тока j –того узла, протекающего по i –ой ветви.
При использовании матрицы обобщенных параметров в расчете утяжеленного режима, задаются точностью расчета ε, проводят итерационный процесс относительно задающих мощностей в узлах, итерационный процесс заканчивают, когда выполняется условие
(9)
Где к –номер итерации.
Примем, что .
Рассчитаем матрицу обобщенных параметров:
, (10)
По формуле (8) найдем токи в ветвях в первом приближении:
Где матрица задающих токов в узлах имеет вид:
Далее рассчитаем падения напряжения в ветвях сети, напряжения в узлах сети и мощности в узлах сети:
Точность расчета равна:
Полученная точность нас не удовлетворяет, поэтому продолжаем итерационный процесс.
По формуле (8) найдем токи в ветвях во втором приближении:
Где матрица задающих токов в узлах имеет вид:
Далее рассчитаем падения напряжения в ветвях сети, напряжения в узлах сети и мощности в узлах сети:
Точность расчета равна:
Полученная точность нас не удовлетворяет, поэтому продолжаем итерационный процесс.
По формуле (8) найдем токи в ветвях в третьем приближении:
Где матрица задающих токов в узлах имеет вид:
Далее рассчитаем падения напряжения в ветвях сети, напряжения в узлах сети и мощности в узлах сети:
Точность расчета равна:
Полученная точность нас удовлетворяет, считаем итерационный процесс завершенным.
Рассчитаем потокораспределение в схеме и потери мощности в ветвях схемы замещения электрической сети. Для этого рассмотрим матрицу инциденций М, составленную с учетом балансирующего узла, а также вектор-функцию узловых напряжений с учетом балансирующего узла:
Рассмотрим матрицу и представим ее в виде двух составляющих матриц:
(11)
= +
Получаем следующие соотношения:
Где напряжение в начале ветви;
напряжение в конце ветви;
диагональная матрица токов в ветвях схемы;
поток мощности в начале ветви;
поток мощности в конце ветви;
потери мощности в ветвях схемы.
Имеем:
Результаты расчета утяжеленного режима представлены на рис.7:
Рисунок 7.
3.6 Расчет режима по исходным узловым уравнениям в форме баланса токов при их решении методом простой итерации.
Непосредственно определить матрицы узловых напряжений можно на основании узлового уравнения в форме, требующей вычисление обратной матрицы узловых проводимостей. При расчетах сложных сетей с большим числом узлов обращение матриц высокого порядка может вызвать значительные затруднения. Применяя метод итераций, можно упростить решение узлового уравнения, при этом оно записывается в форме, не предусматривающей вычисления обратной матрицы:
(25)
Матричные уравнения (13) по своей структуре полностью идентичны уравнениям, записанным в форме, использующей обратную матрицу узловых проводимостей. В левой части выражения (13) имеется произведение квадратной матрицы комплексных коэффициентов на столбцевую матрицу искомых величин, правая часть содержит известные величины.
Матричное узловое уравнение (13) в раскрытой форме будет иметь вид:
(26)
Матричному уравнению (14) отвечает следующая система алгебраических уравнений:
(27)
П ри произвольно принятых напряжениях в нулевой итерации каждое из уравнений системы (15) может быть удовлетворено, если в левую часть их будет внесена некоторая поправка. Рассматриваемый способ простой итерации предусматривает внесение таких поправок лишь к одному из неизвестных, входящих в уравнение. При этом (28
откуда, рассматривая поправки в качестве неизвестных, можно найти
(29)
Нетрудно видеть, что совокупность поправок, входящих в левые части уравнений системы (17), образует столбцевую матрицу . Эти поправки, найденные в соответствии с (17), позволяют удовлетворить каждое из узловых уравнений, входящих в систему (15). При введении этих поправок узловые напряжения
(30)
Однако эти напряжения не удовлетворяют всей системе (15) в целом, поскольку каждая из поправок была найдена из условия удовлетворения лишь одного из уравнений этой системы. Поэтому необходимы дальнейшие уточнения узловых напряжений путем введения новых поправок.
Для поправок n-ой итерации можно записать:
(31)
Если при переходе от одной итерации к другой матрица поправок уменьшается, то говорят, что итерационный процесс сходится. При этом на некоторой n-ой итерации определяется матрица искомых узловых напряжений, удовлетворяющая узловому уравнению с заданной точностью. Признаком этого является удовлетворение неравенства
Примем точность расчета равную
В начальном приближении примем:
Проведем ряд итераций:
Полученная точность расчета в 23-ей итерации нас удовлетворяет, итерационный процесс считаем завершенным.
По формуле (19) найдем искомые узловые напряжения:
=
Произведем дальнейший расчет режима:
По известным напряжениям в узлах сети рассчитаем падения напряжения в ветвях сети:
Далее по уже известным падениям напряжения в ветвях схемы определяем токи в ветвях:
Определим небаланс мощностей в узлах сети: для этого вычислим расчетные узловые токи и соответственно –расчетные мощности в узлах, и сопоставим их с задающими узловыми мощностями.
Имеем,
; (32)
Отсюда получим, что
5. Особенности расчета режимов сети переменного тока с использованием пакета MathCad (выявлены студенткой Кудик Е.В.)