2.1 Итерационные методы решения систем уравнений

В итерационных методах (или методах последовательного приближения) решение Х_* системы

AX = B (87)

получают как предел сходящейся последовательности значений

(88)

Если эта последовательность значений сходится, то разность между двумя соседними приближениями при достаточном числе итераций становится меньше заданной точности расчета _х

(89)

Здесь (89) – признак сходимости итерационного процесса.

Для применения итерационных методов необходимо выбрать вектор начального приближения X⁽⁰⁾

(90)

и по рекуррентному соотношению вида

(91)

организовать циклические вычисления

Х^к = ( Х^к-1)

Построим рекуррентное соотношение для системы уравнений (87). Для этого разрешим уравнения системы (87), записанной в виде

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1n x_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +… + a_2n x_n = b₂

_{…………………………………} (92)

a_n1x₁ + a_n2x₂ + …+ a_nnx_n = b_n

относительно диагональных неизвестных

(93)

Или в матричном виде,

x =  + x (94)

Выражения (93), (94) представляют систему уравнений, подготовленную к итерации, или развернутую запись рекуррентного соотношения (91).

Итерационный вычислительный процесс по схеме (93) вида х^(к) = (х^(к-1)) ведет к решению (88)

х_*=lim х^(к) ,

^к

если выполняются условия сходимости итерации.

2.2 Критерии сходимости итерации и анализ их выполнения для узловых уравнений установившихся режимов

2.2.1 Теорема сходимости итерации

Итерационные процессы – это численные методы решения уравнений, и их эффективность зависит от числовой характеристики матриц коэффициентов системы уравнений. Обе числовые характеристики, упоминавшиеся в теореме о сходимости итераций, формулируют условия сходимости для матрицы  системы, подготовленной к итерации, в виде (93), (94).

(95)

Для матрицы  наибольшее по модулю собственное значение _max<1, а норма  = 1.

Зададимся начальным приближением х⁽⁰⁾ и запишем следующие 4 приближения (для выявления общих закономерностей)

(96)

Подставим х⁽¹⁾, х⁽²⁾, х⁽³⁾ в выражение для х⁽⁴⁾. Получим

(97)

Если итерационный процесс сходится, то x^(k) будет представлять собой решение системы уравнений (87), записанное как предел сходящейся последовательности значений

(97,а)

- предел сходящейся последовательности матриц, т.е. матричного степенного ряда с основанием .

Вынесем  за скобку в (97).

; (98)

или в общем случае для каждого приближения

(99)

В выражении (99) скобка представляет сумму членов матричного степенного ряда, с основанием []. Этот ряд сходится ,если его сумма имеет предел; и расходится, если выполняются условия (100) или (101)

необходимое и достаточное условие сходимости (100)

достаточное условие сходимости (101)

Тогда сумма членов матричного степенного ряда определится по аналогии с суммой членов геометрической прогрессии с основанием q < 1.

Для геометрической прогрессии с числовым основанием q:

^к

Для степенного матричного ряда с основанием []:

(102)

Подставляя (102) в (99), получим

(103)

Здесь , при , или .

Тогда, домножая левую и правую части уравнения (103) на (Е - ) и учитывая, что limх^(к) = х_* (k  ) получим

 (104)

- неподвижная точка, последовательности, или решение системы уравнений.

Выражение (104) соответствует неподвижной точке последовательности, т.е. ее пределу, когда дальнейшего изменения значения x в ходе итерационного процесса не происходит.

Достаточное условие сходимости итерации (101) и следствие из теоремы о достаточных условиях сходимости итерации позволяют получить важные заключения о соотношении диагонального и суммы побочных элементов матрицы, которое необходимо для сходимости итерационного процесса при решении уравнений.

Матрица α системы уравнения, подготовленной к итерации, имеет вид:

(106)

Применительно к узловым уравнениям установившегося режима:

(107)

(108)

Матрица  системы узловых уравнений, подготовленной к итерации, имеет вид

(109)

А достаточное условие сходимости по норме запишется

(109)

и должно выполняться для всех узлов сети i = 1,2,…,n.

Неравенство (109) выражает достаточное условие сходимости итерации для системы узловых уравнений:

для всех узлов сети собственная проводимость узла Y_ii должна быть больше суммы модулей взаимных проводимостей Y_ij. Это условие не выполняется.

Однако для тех узлов сложной схемы, которые связаны с балансирующим узлом, диагональный элемент матрицы Y, т.е. собственная проводимость узла , равен

, (110) благодаря чему для строк матрицы, которые имеют связь с балансирующим узлом

, (111) причем диагональный элемент матрицы больше суммы модулей побочных элементов именно на величину проводимости линии Y_iб, которая связывает i‑й узел с балансирующим.

Благодаря выполнению соотношений (110), (111) выполняется необходимое и достаточное условие сходимости итерации (100), связанное не с нормой, а с собственными значениями , хотя достаточное условие сходимости по норме (101) и не выполняется.

Поэтому сходимость итерационного решения узловых уравнений имеет место, хотя и не обеспечена.