2. Методы решения уравнений установившихся режимов электрических систем
Можно указать характерные особенности уравнений установившихся режимов электрических систем:
- многомерность систем уравнений для реальных схем электрических систем;
- слабая обусловленность, в расчетах многих схем и режимов, матрицы узловых собственных и взаимных проводимостей и матрицы контурных сопротивлений, т.е. близость к нулю определителей этих матриц detYy≈0, detZк ≈0;
- нелинейность уравнений, вызванная нелинейным характером связи параметров режима.
Обусловленность матрицы характеризует величину определителя матрицы. Для слабо обусловленной матрицы определитель близок к 0, т.е. detА 0
Для матрицы Y, как известно, detY = 0 , т.е. имеем вырожденную матрицу для полной схемы сети, включая балансирующий узел. Эта матрица перестает быть вырожденной, когда какой-либо узел сети, в соответствии с физическим смыслом задачи расчета режима, принимается за балансирующий и соответствующая строка удаляется из матрицы Y. Тогда получаем, что det Y 0.
Практическое значение характеристики обусловленности матрицы узловых проводимостей состоит в том, что в плохо обусловленной матрице detY 0, и малым изменениям в элементах исходной матрицы соответствуют большие изменения в элементах обратной матрицы и, следовательно – малым отклонениям заданных режимных параметров соответствуют большие изменения в искомых характеристиках режима, т.е. наблюдается текучесть параметров режима. Покажем это для узловых уравнений:
(85)
(86)
где Аijy – союзная (или присоединенная) матрица к Y, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы Y.
Если detY
0,то
Y-1 по (86) сильно
изменяется при малых отклонениях(например,
округлении элементов) в элементах
,
и тогда решение, получаемое по (85), также
сильно изменяется, и значительно меняются
падения напряжения на ветвях и потоки
мощности в ветвях, то есть результаты
расчета режима в целом.
Методы решения систем уравнений делятся на точные и итерационные. Точные методы имеют конечные алгоритмы. К точным методам относятся решение систем уравнений путем обращения матриц коэффициентов, различные методы группы исключения неизвестных (схема единственного деления, метод исключения с выбором главного элемента, схема Жордана и др.), в общем случае называемые методом Гаусса. Согласно методу Гаусса, при прямом ходе производится исключение неизвестных и матрица системы приводится к треугольному виду. При обратном ходе последовательно вычисляются неизвестные.
Применение метода Гаусса к решению систем уравнений установившихся режимов со слабо заполненными матрицами имеет тот недостаток, что в процессе исключения неизвестных свойство слабой заполненности матрицы теряется, то есть вновь появляется большое число ненулевых элементов. Это не только требует дополнительного объема памяти, но и снижает быстродействие программы. Проблема отчасти решается за счет выбора оптимальной стратегии исключения неизвестных, приводящей к минимальному количеству появляющихся ненулевых элементов. Для этого на каждом шаге исключения за ведущий(исключаемый) принимается тот элемент, который имеет минимальное число связей, то есть минимальное число ненулевых элементов в строке.
Эта проблема особенно актуальна для узловых уравнений, имеющих слабо заполненную матрицу большой размерности. Минимальное число элементов в строке матрицы узловых проводимостей равно 2 -- одна собственная проводимость yii и одна взаимная yij. При линейных комбинациях со строками в процессе исключения неизвестных в первую очередь исключают узлы, имеющие минимальное число связей – одну связь и два элемента в строке матрицы Y, то есть висячие вершины графа. Далее исключают узлы, имеющие по две связи и т.д. Исключение элементов из системы узловых уравнений с матрицей узловых проводимостей соответствует исключению узлов в схеме по методу преобразования сети. При этом нагрузка исключаемого узла разносится в прилежащие точки, проводимости связей преобразуются по формулам метода Гаусса. В общем случае n-лучевая звезда преобразуется в n-угольник. Такой алгоритм исключения реализован в широко распространенной программе МУСТАНГ, разработанной в 80-90-ых годах в ОДУ Северо-запада ЕЭС СССР (г.Рига) совместно с ведущим НИИ в электроэнергетике – Сибирским энергетическим институтом Сибирского отделения АН СССР. Следует заметить также, что алгоритмы и программы решения узловых или контурных уравнений по методу исключения неизвестных сложнее, чем по методу итерации.