0. Запись уравнений состояния сети с помощью матриц обобщенных параметров.

Обратимся к уравнениям состояния сети (54), (55) по законам Кирхгофа.

Представим матрицу коэффициентов системы [A^-1] в виде блочной матрицы с размерностью блоков по числу узлов n и числу контуров k

(60)

Тогда

(61)

Здесь — квадратная матрица, называемая матрицей входных и взаимных проводимостей ветвей схемы. Её элементы y_ij определяют величину и фазу тока в i-ой ветви от действия ЭДС j-ой ветви и называются взаимными проводимостями, а элементы у_ii определяют величину и фазу тока в i-ой ветви от действия ЭДС этой же ветви и называются собственными или входными проводимостями.

При отсутствии ЭДС ветвей ([E_в] = 0), выражение (61) обращается в

, (62)

откуда наглядно виден смысл матрицы [С] и её элементов.

[C] — матрица порядка , называется матрицей коэффициентов распределения задающих токов узлов по ветвям сети. Её произвольный элемент c_ij представляет собой долю от тока j-го узла в токе i-ой ветви:

, (63)

где c_ij — элемент матрицы коэффициентов распределения [C];

I_i — ток i-ой ветви;

J_j — задающий ток j-го узла.

Матрицы [С], [D] и, следовательно — [Y_в], вычисляются путем обращения матрицы [А] с помощью разбиения на блоки, и представляют собой линейные комбинации блоков матрицы [А], показанных в (53). При этом [С] и [Y_в] могут быть выражены как на основе узловой модели сети:

, (64)

где — обратная к матрице узловых собственных и взаимных проводимостей,

так и на основе контурной модели:

(65)

где — обратная к матрице контурных сопротивлений.

Выражения (64), (65) показывают, что процедура нахождения [С] достаточно громоздкая, но вычисленная один раз, эта матрица позволяет вести многократные расчёты режима по выражениям (55), (61) вручную или на ЭВМ с высоким быстродействием^. После нахождения токов ветвей остальные параметры режима рассчитываются по известным формулам.

Правильность выражений (64), (65) и результатов конкретных вычислений матрицы [С] по этим выражениям можно проверить по соотношению:

, (66)

которое получается если в 1-ый закон Кирхгофа подставить вектор токов ветвей из (55):

, а следовательно

(67)

Логика выражения (60) наглядно видна, если в выражение (55) подставить [С] из (60):

(68)

[U]

[U_в]

[I]=[I] тождество

Аналогично можно показать логику выражения для матрицы [С] на основе контурной модели сети:

Перемножим в правой части и сгруппируем сомножители скобками

[I_α]

[ΔUα]

[I_α΄]

[Iв]

[Ек]

[I_β]

[Iв΄΄]=[I_α΄΄ I_β]^Т

[Iв]

[Iв] =

Здесь [I_α΄] – составляющая токов в дереве сети, обусловленная задающими токами при отсутствии хорд;

[I_α΄΄] – составляющая токов в дереве сети, вызванная замыканием хорд.

[I_α]=[I_α΄]+[I_α΄΄]; (69)

[Iв]= [I_α΄]+[Iв΄΄] (70)