5. Условия кинетостатической определимости кинематических цепей

Paccмотрим вопрос об определении реакций в различных кинемати­ческих парах механизмов, считая, что трение в них отсутствует.

Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9

Во вращательной паре V класса (рис. 7) результирующая сила ре­акции проходит через центр 0 шарнира. Величина и направление этой реакции не известны.

В поступательной паре V класса (рис. 8) реакция перпен­дикулярна к оси движения Х-Х. т.е. она известна по направлению, но не известна по точке приложения и величине.

В паре IV класса (рис. 9) реакция , приложена в точке С соприкосновения и направлена по общей нормали n-n, проведенной в точке С, т.е. известны ее направление и точка приложения и не известна величина.

Таким образом, для определения реакций в каждой из низших пар (V класса) необходимо найти две неизвестные величины, а для опреде­ления реакций высшей паре (IV класса) - только одну. Обозначим число подвижных звеньев кинематической цепи через n, число пар V класса - через p₅, а число пар IV класса - через p₄. Так как для каждого звена, совершающего плоское движение, можно напи­сать три уравнения равновесия, то общее число уравнений при n звеньях будет равно 3n. Число неизвестных, которое необходимо оп­ределить для пар У класса равно 2p₅, а для пар 1V класса p₄, и условие кинетостатической определимости кинематической цепи мо­жет быть записано

3n = 2p₅ + p₄ (4)

Любой механизм с парами 1V класса может быть заменен механизмом с парами V класса. Тогда очевидно, достаточно ограничиться рассмот­рением цепей, звенья которых входят только в пары V класса. Уравне­ние (4) может быть переписано так

3n = 2p₅

откуда n = 2/3 p₅

Числа звеньев и пар связаны между собой соотношением

n = 2, 4, 6, 8, …

p₅ = 3, 6, 9, 12, …

Но эти сочетания звеньев и пар представляют группы Ассура, следовательно, последние является кинетостатически определимыми цепями. Поэтому рациональным является определение реакций в кинема­тических парах из равновесия отдельных групп.

6. Определение реакций в кинематических парах

6.1. Группы 2 класса 1 и 2 видов

Рассмотрим на примере шестизвенного механизма (рис. 10). Будем считать, что внешние силы, приложенные к звеньям (силы тяжести G, сила производственного сопротивления F₃ и момент М₅)· заданы, а силы инерции определены, так как известны массы и моменты инерции звеньев и построен план ускорений.

При силовом исследовании механизм расчленяется на группы Ассура и выделяется входное звено со стойкой. При этом действие отсоединен­ных при расчленении механизма звеньев заменяется реакциями, которые для каждой группы определяется при помощи уравнений кинетостатики аналитически или построением плана сил.

Рис. 10а. Схема механизма

Силовой расчет начинается с группы, которая в процессе обра­зования механизма присоединена последней, и заканчивается расче­том входного звена. Рассматриваемый механизм состоит из стойки О, входного звена 1, группы 2, 3 и группы 4, 5.

Силовое исследование выполняем сначала для группы 4, 5, для чего группу освобождаем от связей и вместо них прикладываем к эле­ментам кинематических пар D и F реакций и .

Примечание. Условимся реакцию на звено a со стороны эвена b обозначать , По третьему закону механики .

Рассматриваемая группа II класса, 1 вида. Порядок расчета группы этого вида следующий. Каждую из реакций и раскладываем на две составляющие, одну, нормальную, по оси звена ( и ) и вторую, тангенциальную, под прямым углом к оси звена ( и ) (рис. 10, б). Составляем уравнение равновесия для звена 5 в виде уравнения моментов сил относитель­но точки Е, при этом неизвестная составляющая реакции исключается.

Откуда

Если окажется отрицательной, то это значит, что направле­ние противоположно тому, которое было предварительно принято.

Составляем уравнение равновесия для звена 4, при этом исключается.

Составляем векторное уравнение равновесия для группы 4, 5.

Рис. 10.б,в:

б) группа 4,5

II класса, 1 вида

в) группа 2,3

II класса, 2 вида

Исходя из уравнения строим план сил для группы 4, 5 (рис, 10, б) в следующей последовательности: начиная от произвольной точки a откладываем известные по величине и направлению векторы сил . Из конца вектора проводим прямую, параллельную , а из начала прямую, параллельную . В точке b пересечения этих пряных замыкается силовой многоугольник и определяются реакции и . Масштабный коэффициент плана сил µ_F выбирается произвольно и имеет размерность Н/мм.

Путем графического сложения составляющих векторов определяем величину и направление полных реакций в шарнирах D и F.

и .

При построении плана сил следует сначала сложить векторы всех сил, действующих на звено 5, а затем - на звено 4, или наоборот. Тогда из плана сил легко можно определить реакцию в среднем шарнире.

Переходим к группе 2, 3, II класса, 2 вида. Освобождаем ее от связей и вместо них прикладываем неизвестные реакции и ; последняя перпендикулярна направляющей ползуна Х-Х (рис10, в).

Составляем уравнение равновесия для звена 2.

откуда

Составляем векторное уравнение равновесия для группы 2, 3.

и строим согласно уравнению план сил. Для этого от произвольной точ­ки С последовательно откладываем известные по величине векторы сил , , , , , , . Далее проводим линии, параллельные реакции (из начала ) и (из конца ) до их взаимного пересечения в точке d; замыкаем план сил и оп­ределяем величины и направления этих реакций.

Геометрически сложив и , находим полную реакцию в шарнире В:

= + .

Реакцию в шарнире С определяем из плана сил согласно уравнению

.

Для определения точки z приложения составляем уравнение равновесия для звена 3 в виде

,

откуда .