2. Друга чудова границя.

(2)

Важливі наслідки з формули (2).

3. Обчислення границь.

За умови , маємо такі співвідношення:

1. ; 2. 3. 4. 5.

6. ; 7. ; 8. ; 9.

Підстановка граничного значення часто призводить до невизначеностей вигляду:

Для розкриття невизначеностей спочатку виконують перетворення, а потім переходять до границі.

Невизначеність типу

1. Виконуємо тотожні перетворення з метою позбавитися від невизначеності, тобто виділяємо в чисельнику і знаменнику множник , який прямує до нуля при . Цей множник називатимемо критичним. Далі треба скоротити на цей множник.

2. При обчисленні границь функцій, що містять ірраціональні вирази, які обертаються в нуль при , в них треба виділити множник . Це можна зробити, позбувшись від ірраціональності в чисельнику або знаменнику шляхом множення дробу на відповідний спряжений множник.

3. При обчисленні границь функцій, що містять тригонометричні вирази, виконують тотожні перетворення із застосуванням формул тригонометрії, першу чудову границю і наслідки з неї.

Тема: Неперервність ф. Асимптоти.

План.

1. Неперервність ф.

2. Т. розриву.

3. Асимптоти.

1. Неперервність ф.

ОЗ 2 Функція називається неперервною в точці , якщо:

1) функція визначена в точці і деякому її околі;

2) існує скінченна границя ;

3) ця границя дорівнює значенню функції в точці , тобто

(3)

Умова неперервності (3) може бути також представлена у вигляді

(4)

Умова (4) означає, що для неперервної в точці функції, границя функції справа в точці а дорівнює границі функції зліва в точці і дорівнює значенню функції в цій точці.

Величину наз. приростом аргументу, а величину – приростом ф. в т. .

ОЗ 3 Ф. наз. неперервною в т. , якщо її приріст у цій т. є нескінченно малою величиною при , тобто

Якщо функція неперервна в кожній точці деякої області, то вона називається неперервною в цій області.

2. Т. Розриву.

Точка , в якій порушена хоча б одна з умов неперервності, називається точкою розриву функції .

Точки розриву класифікуються таким чином.

Якщо існують скінченні границі і , причому не всі три числа рівні між собою, то точка називається точкою розриву першого роду.

До точок розриву першого роду відносяться точки уcувного розриву та точки розриву типу "стрибок".

Якщо , то точка називається точкою усувного розриву.

Якщо , то точка називається точкою "стрибка", а величина стрибком функції в точці .

Точка називається точкою розриву другого роду функції , якщо хоча б одна з границь не існує або дорівнює нескінченності.

ОЗ 4 Ф. наз. розривною, якщо вона має хоча б одну т. розриву.

3. Асимптоти.

ОЗ 5 Пряма називається асимптотою графіка функції , якщо відстань від точки графіка функції до прямої при віддаленні точки у нескінченність.

Вертикальні асимптоти.

ОЗ 6 Пряму наз. вертикальною асимптотою графіка функції , якщо хоча б одна з границь або дорівнює Вертикальні асимптоти відповідають т. розриву другого роду.

Неперервні функції не мають вертикальних асимптот.

Похилі асимптоти.

Пряма є похилою асимптотою графіка функції , якщо існують скінченні границі

Горизонтальні асимптоти.

Пряма є горизонтальною асимптотою графіка функції . Горизонтальна асимптота є частинним випадком похилої асимптоти при .

Тема: Похідна функції.

План.

1. Похідна ф. Основні поняття.

2. Основні правила диференціювання.

3. Таблиця похідних.

4. Похідні вищих порядків.

5. Зміст похідної.

1. Похідна ф.

Нехай ф. визначена на деякому проміжку (можливо, нескінченному). Виберемо довільну т. і надамо аргументові приросту , так що т. також належить проміжку .

Величину наз. приростом аргументу. При цьому , якщо і , якщо . Тоді відповідним приростом ф. є величина .

ОЗ 7 Якщо існує границя відношення приросту ф. в т. до приросту аргументу при , то її наз. похідною ф. у т. .

Похідну позначають по-різному

Якщо має похідну в кожній т. проміжку , то похідна також є ф. аргументу , визначеною на проміжку .