5. Основні властивості визначників.

1. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то й визначник дорівнює нулю.

2. У разі переставлення двох рядків (стовпців) визначник змінює знак на протилежний.

3. Спільний множник усіх елементів деякого рядка (стовпця) визначника можна виносити за знак визначника.

4. Визначник, який має два пропорційних рядки (стовпці), дорівнює нулю.

5. Визначник не зміниться, якщо до елементів його одного рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на довільне ненульове число.

Тема: Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Формули Крамера.

План.

1. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Основні відомості.

2. Формули Крамера.

1. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Основні відомості.

ОЗ 15 Системою двох лінійних рівнянь з двома невідомими називається система типу

(1)

де – невідомі, – коефіцієнти при невідомих, – вільні члени, – вважаються заданими. Коефіцієнти при невідомих позначають буквою а з двома індексами, де перший індекс і – відповідає номеру рівняння в системі, а другий j – номеру невідомого.

ОЗ 16 Пару чисел називають розв'язком системи (1), якщо внаслідок підстановки цих чисел замість невідомих в систему (1) кожне з двох рівнянь перетворюються на тотожність.

ОЗ 17 Системою трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими називається система типу

(2)

де – коефіцієнти при невідомих системи (2), – вільні члени.

ОЗ 18 Систему (2) наз. сумісною, якщо вона має принаймні один розв'язок. Якщо система (2) не має розв'язків, то її називають несумісною.

ОЗ 19 Сумісну систему, яка має тільки один розв'язок, наз. визначеною. Якщо сумісна система має нескінченну кількість розв'язків, її наз. невизначеною.

2. Формули Крамера.

Розв'яжемо систему (1). Помножимо перше рівняння системи (1) на , а друге – на і додамо, в результаті одержимо

Далі помножимо перше рівняння системи на , а друге – на і додамо, в результаті одержимо

Різниці добутків у формулах можна записати у вигляді визначників другого порядку

ОЗ 20 Визначник складений з коефіцієнтів при невідомих системи (1) називають визначником системи.

Зазначимо, що визначники утворюються з визначника , заміною елементів першого та другого стовпця відповідно стовпцем вільних членів. Отримуємо систему рівнянь

(3)

Оскільки система (3) є наслідком системи (1), то її розв'язок, якщо він існує, є розв'язком і системи (1).

При розв'язуванні системи (3) можуть виникнути три випадки

1) , тоді система (3) має єдиний розв'язок

(4)

який є розв'язком системи (1)Формули (4) називають формулами Крамера.

2) при цьому хоч один із визначників відмінний від нуля. Тоді система (3) розв'язку не має. Отже і система (1) – несумісна.

3) Система (3) зводиться до одного з рівнянь системи. Отже система (1) має безліч розв'язків.

Розглянемо систему (2). Введемо позначення

1. Якщо , то система (2) має єдиний розв'язок, який визначається формулами Крамера .

2. Якщо і хоча б один із визначників , відмінний від нуля, то система несумісна.

3. Якщо , то система має або безліч розв'язків, або не має жодного. Остаточну відповідь у цьому випадку можна одержати за теоремою Кронекера-Капеллі, яку буде сформульовано пізніше.

Тема: Обернена матриця. Матричний метод розв'язування системи рівнянь.

План.

1. Обернена матриця.

2. Матричний метод розв'язування системи рівнянь.