3. Зв'язок між похідною за напрямом і градієнтом функції.

Похідна функції (2) за напрямом визначається так

і є скалярним добутком векторів і .

Оскільки , то похідна за напрямом вектора

де – кут між векторами і .

Тема: Диференціальні рівняння.

План.

1. Основні поняття теорії ЗДР.

2. ЗДР з відокремлюваними змінними.

3. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами.

1. Основні поняття теорії здр.

ОЗ 1 ЗДР називають такі рівняння, які містять шукану ф. однієї змінної, та її похідні або диференціали.

(1)

Приклад. ЗДР

ОЗ 2 Найвищий порядок похідної, що містить диференціальне рівняння, називають порядком диференціального рівняння.

Приклад. ЗДР різних порядків

ОЗ 3 Загальним розв'язком диференціального рівняння -ого порядку (1) називають ф. , яка залежить від аргумента та довільних сталих , тобто має вигляд

(2)

яка при її підстановці у рівняння, перетворює рівняння у тотожність.

Загальний розв'язок ЗДР може бути і не розв'язаним відносно , тобто мати вигляд . У цьому випадку його називають загальним інтегралом диференціального рівняння.

ОЗ 4 Частинним розв'язком рівняння (1) називають розв'язок, який можа дістати із загального розв'язку (2) при деяких конкретних значеннях параметрів .

Приклад. – частинний розв'язок рівняння .

ОЗ 5 Сумісне завдання ЗДР та відповідної кількості початкових умов називають задачею Коші.

Наприклад, для ЗДР першого порядку задачу Коші можна записати у вигляді

Для ЗДР другого порядку задачу Коші можна записати у вигляді

Приклад. Задача Коші

2. ЗДР з відокремлюваними змінними

ОЗ 6 ЗДР першого порядку вигляду

(3)

називають рівнянням з відокремленими змінними.

У цьому рівнянні коефіцієнтом при є ф., яка залежить лише від або стала величина, а коефіцієнт при – ф., яка залежить лише від або стала величина.

Загальний розв'язок рівняння (3) з відокремленими змінними знаходять за формулою

ОЗ 7 ЗДР першого порядку вигляду

(4)

називають рівнянням з відокремлюваними змінними.

Загальний розв'язок рівняння (4) знаходять шляхом зведення його до рівняння з відокремленими змінними, тобто до вигляду

з подальшим інтегруванням.

3. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами.

ОЗ 8 Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку називають диференціальне рівняння вигляду

(5)

де – шукана, двічі неперервно диференційовна ф., а – неперервні на проміжку ф.

Якщо то рівняння (5) називають лінійним однорідним рівнянням, а при – лінійним неоднорідним рівнянням.

Розглянемо важливий і поширений клас лінійних диференціальних рівнянь (5), в яких ф. – сталі.

ОЗ 9 Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами називають диференціальне рівняння вигляду

(6)

де – шукана, двічі неперервно диференційовна ф., – деякі дійсні числа.

Розв'язок рівняння (6) шукатимемо у вигляді , де – деяке число. Підставляємо цю ф. в рівняння (6):

Скоротивши обидві частини рівняння на , дістанемо квадратне рівняння

(7)

яке називають характеристичним рівнянням для (6).

Отже, якщо – розв'язок рівняння (7), то – розв'язок однорідного рівняння (6).

Вигляд розв'язку рівняння (6) істотно залежить від того, які корені має характеристичне рівняння (7). Позначимо ці корені через .

Теорема 1