1. Границя послідовності.

Якщо кожному натуральному числу ставиться у відповідність число , то множина чисел

називається числовою послідовністю або просто послідовністю.

Скорочено послідовність позначається символом . Числа , називаються членами послідовності, -- загальний член послідовності.

Число називається границею числової послідовності , якщо для довільного існує такий номер , що для всіх , виконується нерівність

Символічно це записується так:

2. Границя функції.

Нехай функція визначена в деякому околі точки , за виключенням, можливо, самої точки .

ОЗ 1 (на мові послідовностей) Число А називається границею функції в точці , якщо для довільної послідовності , збіжної до , відповідна послідовність збігається до .

Символічно той факт, що число А є границею функції в точці , записується так:

Поняття границі має місце і при , і при .

Якщо і , то умовно пишуть ; якщо і , то умовно пишуть ; Числа

називаються відповідно границею функції зліва в точці і границею функції справа в точці . Границю зліва в точці та границю справа в точці називають односторонніми границями.

Теорема 1 (про зв'язок між однобічними границями й границею ф.) Ф. має границю в т. тоді й лише тоді, коли в цій т. існують права й ліва границі й вони рівні між собою:

3. Властивості границь.

Практичне обчислення границь базується на таких теоремах. Якщо існують скінчені границі та , то

Це так звані арифметичні властивості функцій, що мають скінчені границі.

4. Нескінченно малі й нескінченно великі.

Якщо , то функція називається нескінченно великою при . Якщо , то функція називається нескінченно малою при .

Є тісний зв'язок між нескінченно малими й нескінченно великими функціями.

Теорема 2 Якщо при ф. нескінченно мала, то ф. при нескінченно велика,і навпаки, якщо при ф. нескінченно велика, то ф. при нескінченно мала.

Теорема 3 (про зв'язок нескінченно малих ф. із границями ф.) Для ф. існує скінчена границя тоді й лише тоді, коли цю ф. можна подати у вигляді суми

де .

Властивості нескінченно малих ф.

1. Алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих ф. є нескінченно малою ф.

2. Добуток нескінченно малої ф. на обмежену ф. є нескінченно малою ф.

3. Добуток нескінченно малої ф. на константу є нескінченно малою ф.

4. Добуток скінченного числа нескінченно малих ф. є нескінченно малою ф.

5. Частка від ділення нескінченно малої ф. на ф., границя якої не дорівнює нулю, є нескінченно малою ф.

Тема: Техніка обчислення границь.

План.

1. Перша чудова границя.

2. Друга чудова границя.

3. Обчислення границь.

1. Перша чудова границя.

При обчисленні границь трансцендентних ф., часто використовують формулу

(1)

Для її доведення розглянемо одиничне коло. Нехай -- рухомий радіус, що утворює кут із віссю . Див. рис.

Із рис. видно, що :

Отже,

Поділимо на . Дістанемо

Перетворивши, одержимо

Оскільки i -- ф. парні, то добута нерівність справедлива і при . Перейдемо до границі при . Дістанемо

За теоремою про три ф.

Теорема 4 Якщо в деякому околі т. виконується нерівність , причому , то

Наслідки з формули (6).