4. Скалярний добуток.

ОЗ 12 Скалярним добутком векторів і називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

Властивості скалярного добутку.

1. (комутативний закон).

2. (асоціативний закон).

3. (дистрибутивний закон).

4.

5. Якщо то

6.

7. тоді й тільки тоді, коли або (умова перпендикулярності векторів).

Тема: Векторні простори.

План.

1. Поняття -вимірного вектора. Векторні простори.

2. Розмірність, базис векторного простору.

3. Розкладання вектора за базисом.

1. Поняття -вимірного вектора. Векторні простори.

ОЗ 13 -вимірним вектором наз. упорядковану сукупність чисел і позначають вектор рядком .

Числа наз. координатами вектора.

Два -вимірни вектори і наз. рівними, якщо їхні відповідні координати рівні

ОЗ 14 Сумою двох -вимірних векторів називають вектор, координати якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів доданків, тобто

ОЗ 15 Добутком дійсного числа на вектор наз. вектор , компоненти якого дорівнюють добуткам числа на відповідні компоненти вектора :

ОЗ 16 Множину -вимірних векторів із дійсними координатами, в якій визначено операції додавання векторів та множення числа на вектор, що мають властивості 1--8, наз. векторним простором. позначатимемо його .

Векторні простори можна розглядати як множину векторів на прямій (множину дійсних чисел); – множина векторів на площині; – множина векторів у тривимірному просторі.

2. Розмірність і базис векторного простору.

Нехай задано векторів векторного простору .

ОЗ 17 Вектор наз. лінійною комбінацією векторів , якщо для деяких дійсних чисел справджується рівність

Лінійну комбінацію, всі коефіцієнти якої дорівнюють нулю, наз. тривіальною. В противному разі лінійну комбінацію наз. нетривіальною.

ОЗ 18 Систему векторів векторного простору наз. лінійно залежною, якщо існують такі числа , не всі одночасно рівні нулю, що виконується рівність

У противному разі вектори наз. лінійно незалежними.

Теорема 2 Система векторів лінійно залежна тоді й лише тоді, коли хоча б один із них є лінійною комбінацією інших.

ОЗ 19 Базисом векторного простору наз. довільну систему лінійно незалежних векторів.

Два неколінеарні вектори площини утворюють базис у множині векторів цієї площини.

Векторний простір називають -вимірним, якщо в ньому існує сисетма лінійно незалежних векторів, а будь-які з векторів є лінійно залежними. Число наз. розмірністю простору . Інакше кажучи, розмірність простору -- це максимальне число лінійно незалежних векторів, що містяться в ньому.

3. Розкладання вектора за базисом.

Теорема 3 (про розклад вектора за базисом) Будь-який вектор векторного простору можна подати, й причому єдиним способом, у вигляді лінійної комбінації векторів базису.

Нехай задано довільний базис простору . Виберемо довільний вектор . Тоді

Останню рівність наз. розкладом вектора в базисі , а числа – координатами вектора в цьому базисі.

Тема: Рівняння прямої. Взаємне розміщення двох прямих.

План.

1. Рівняння прямої.

2. Взаємне розміщення двох прямих.