2. Теорема Кронекера-Капеллі.

Теорема 5 (Теорема Кронекера - Капеллі ) Для того, щоб система була сумісною, необхідно та достатньо, щоб де – розширена матриця системи.

З теореми випливає: якщо – число невідомих, то система має єдиний розв'язок; якщо , то система має безліч розв'язків; якщо , то система несумісна.

Тема: Метод Жордана-Гаусса. Однорідні системи рівнянь.

План.

1. Метод Жордана-Гаусса.

2. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса.

3. Однорідні системи рівнянь.

1. Метод Жордана-Гаусса.

Зауважимо, що й метод Крамера, і матричний метод пов'язані з великою кількістю обчислень. Є економічніші методи розв'язування систем лінійних рівнянь, що ґрунтуються на попередньому перетворенні розширеної матриці системи до спеціального вигляду. До них належить метод Гаусса.

Метод Гаусса – метод послідовного виключення невідомих – полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь зводиться до рівносильної системи, з якої послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, знаходять усі інші змінні.

До елементарних перетворень системи лінійних рівнянь належать:

1. Множення рівняння системи на число, відмінне від нуля;

2. Додавання до одного рівняння системи іншого, помноженого на будь-яке число;

3. Переставлення місцями двох рівнянь системи.

Після застосування елементарних перетворень завжди дістають систему, еквівалентну початковій.

Метод Жордана-Гаусса є модифікацією методу Гаусса. Метод Жордана-Гаусса використовується для розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходження оберненої матриці, відшукання рангу матриці, знаходження координат вектора у заданому базисі.

2. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса.

Для знаходження оберненої матриці методом Гаусса, потрібно виконати такі дії:

1. до даної матриці справа дописати одиничну матрицю .

2. елементарними перетвореннями над рядками матриці матрицю звести до одиничної матриці.

В результаті на місці даної матриці буде сформовано одиничну матрицю, а на місці дописаної справа одиничної матриці знаходитиметься обернена матриця , тобто замість матриці дістанемо матрицю .

3. Однорідні системи рівнянь.

ОЗ 26 Система рівнянь називається однорідною, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю, тобто

Матричний запис системи однорідних рівнянь має вигляд . Однорідна система завжди сумісна, тобто має розв'язок .

Теорема 6 (про структуру загального розв'язку). Нехай – ранг матриці, тоді: якщо , де – число невідомих системи, то існує тільки тривіальний розв'язок ; якщо , то існує лінійно незалежних розв'язків розглядуваної системи: причому її загальний розв'язок має вигляд: де –- деякі сталі.

Тема: Вектори. Основні поняття.

План.

1. Основні відомості про вектори.

2. Лінійні операції над векторами.

3. Кут між векторами. Проекція вектора на вісь. Координати вектора.

4. Скалярний добуток.