- •1. Основні відомості про матриці.
- •2. Лінійні операції над матрицями.
- •3. Добуток матриць.
- •4. Визначники та їх обчислення.
- •5. Основні властивості визначників.
- •1. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Основні відомості.
- •2. Формули Крамера.
- •1. Обернена матриця
- •2. Матричний метод розв'язування системи рівнянь.
- •1. Ранг матриці.
- •2. Теорема Кронекера-Капеллі.
- •1. Метод Жордана-Гаусса.
- •2. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса.
- •3. Однорідні системи рівнянь.
- •1. Основні відомості про вектори.
- •2. Лінійні операції над векторами.
- •3. Кут між векторами. Проекція вектора на вісь. Координати вектора.
- •4. Скалярний добуток.
- •3. Розкладання вектора за базисом.
- •1. Рівняння прямої.
- •2. Взаємне розміщення двох прямих.
- •1. Границя послідовності.
- •3. Властивості границь.
- •4. Нескінченно малі й нескінченно великі.
- •1. Перша чудова границя.
- •2. Друга чудова границя.
- •3. Обчислення границь.
- •1. Неперервність ф.
- •2. Т. Розриву.
- •3. Асимптоти.
- •2. Основні правила диференціювання.
- •3. Таблиця похідних.
- •4. Похідні вищих порядків.
- •1. Похідна неявної ф.
- •3. Якщо не змінює свого знака в околі т. , то задана ф. Не має локального екстремуму в т. .
- •3) То потрібне додаткове дослідження.
- •4. Найбільше і найменше значення ф. На відрізку.
- •1. Опуклість і вгнутість графіка ф.
- •2. Т. Перегину. Необхідні і достатні умови т. Перегину.
- •1. Основні поняття.
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла.
- •3. Таблиця інтегралів.
- •4. Безпосереднє інтегрування.
- •2. Інтегрування частинами.
- •1. Поняття функції 2-ох, 3-ох, багатьох змінних. Область визначення і множина значень.
- •2. Поняття графіка функцій двох змінних.
- •3. Поняття частиного приросту функції, повного приросту функції.
- •4. Поняття частиних похідних 1-го, 2-го порядку і техніка їх знаходження.
- •1. Поняття екстремуму функції 2-ох змінних.
- •2. Найбільше і найменше значення функції в замкненій області.
- •3. Умовний екстремум.
- •1. Оз похідної за напрямом та її знаходження.
- •2. Поняття градієнта функції та його знаходження.
- •3. Зв'язок між похідною за напрямом і градієнтом функції.
- •1. Основні поняття теорії здр.
- •3. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами.
- •1. Якщо корені характ. Рів. (7) дійсні і різні ( ), то загальний розв'язок рів. (6) має вигляд
- •2. Якщо корені характ. Рів. (7) дійсні і рівні ( ), то загальний розв'язок рів. (6) має вигляд
- •3. Якщо корені характ. Рів. (7) комплексні ( ), то загальний розв'язок рів. (6) має вигляд
- •1. Основні поняття теорії рядів.
- •2. Властивості числових рядів.
- •3. Необхідна ознака збіжності числового ряду.
- •4. Достатні ознаки збіжності числових рядів.
- •5. Степеневі ряди.
- •6. Область збіжності степеневого ряду.
- •7. Розклад деяких функцій в ряд Тейлора.
- •8. Наближені обчислення з допомогою рядів.
2. Теорема Кронекера-Капеллі.
Теорема 5 (Теорема Кронекера - Капеллі ) Для того, щоб система була сумісною, необхідно та достатньо, щоб де – розширена матриця системи.
З теореми випливає: якщо – число невідомих, то система має єдиний розв'язок; якщо , то система має безліч розв'язків; якщо , то система несумісна.
Тема: Метод Жордана-Гаусса. Однорідні системи рівнянь.
План.
1. Метод Жордана-Гаусса.
2. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса.
3. Однорідні системи рівнянь.
1. Метод Жордана-Гаусса.
Зауважимо, що й метод Крамера, і матричний метод пов'язані з великою кількістю обчислень. Є економічніші методи розв'язування систем лінійних рівнянь, що ґрунтуються на попередньому перетворенні розширеної матриці системи до спеціального вигляду. До них належить метод Гаусса.
Метод Гаусса – метод послідовного виключення невідомих – полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь зводиться до рівносильної системи, з якої послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, знаходять усі інші змінні.
До елементарних перетворень системи лінійних рівнянь належать:
1. Множення рівняння системи на число, відмінне від нуля;
2. Додавання до одного рівняння системи іншого, помноженого на будь-яке число;
3. Переставлення місцями двох рівнянь системи.
Після застосування елементарних перетворень завжди дістають систему, еквівалентну початковій.
Метод Жордана-Гаусса є модифікацією методу Гаусса. Метод Жордана-Гаусса використовується для розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходження оберненої матриці, відшукання рангу матриці, знаходження координат вектора у заданому базисі.
2. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса.
Для знаходження оберненої матриці методом Гаусса, потрібно виконати такі дії:
1. до даної матриці справа дописати одиничну матрицю .
2. елементарними перетвореннями над рядками матриці матрицю звести до одиничної матриці.
В результаті на місці даної матриці буде сформовано одиничну матрицю, а на місці дописаної справа одиничної матриці знаходитиметься обернена матриця , тобто замість матриці дістанемо матрицю .
3. Однорідні системи рівнянь.
ОЗ 26 Система рівнянь називається однорідною, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю, тобто
Матричний запис системи однорідних рівнянь має вигляд . Однорідна система завжди сумісна, тобто має розв'язок .
Теорема 6 (про структуру загального розв'язку). Нехай – ранг матриці, тоді: якщо , де – число невідомих системи, то існує тільки тривіальний розв'язок ; якщо , то існує лінійно незалежних розв'язків розглядуваної системи: причому її загальний розв'язок має вигляд: де –- деякі сталі.
Тема: Вектори. Основні поняття.
План.
1. Основні відомості про вектори.
2. Лінійні операції над векторами.
3. Кут між векторами. Проекція вектора на вісь. Координати вектора.
4. Скалярний добуток.