1. Якщо корені характ. Рів. (7) дійсні і різні ( ), то загальний розв'язок рів. (6) має вигляд

2. Якщо корені характ. Рів. (7) дійсні і рівні ( ), то загальний розв'язок рів. (6) має вигляд

3. Якщо корені характ. Рів. (7) комплексні ( ), то загальний розв'язок рів. (6) має вигляд

У всіх трьох випадках – довільні сталі.

Приклад.

Знайти загальний розв'язок рівняння . Відповідь:

Приклад.

Знайти загальний розв'язок рівняння . Відповідь:

Приклад.

Знайти загальний розв'язок рівняння . Відповідь:

Приклад.

Знайти розв'язок задачі Коші . Відповідь:

Тема: Ряди.

План.

1. Основні поняття теорії рядів.

2. Властивості числових рядів.

3. Необхідна ознака збіжності числового ряду.

4. Достатні ознаки збіжності числових рядів.

4.1 Порівняльна ознака.

4.2 Ознака д'Аламбера.

4.1 Радикальна ознака Коші.

5. Степеневі ряди.

6. Область збіжності степеневого ряду.

7. Розклад ф. в ряд Тейлора.

8. Наближені обчислення з допомогою рядів.

1. Основні поняття теорії рядів.

Ряди є одним з найважливіших засобів зображення, вивчення і наближенного обчислення чисел та функцій. Найпростіші приклади рядів зустрічаються в елементарній математиці – нескінченні десяткові дроби., наприклад

Серед числових рядів виділяють:

1) Ряди з додатніми членами

2) Знакозмінні ряди

3) Знакопочережні ряди

ОЗ 1 Якщо задана послідовність чисел то вираз

(1)

називають числовим рядом і позначають символом

тут – члени ряду, – загальний член ряду.

ОЗ 2 Суму перших членів ряду, а саме

називають -ю частковою сумою ряду.

Розглянемо послідовність – часткових сум ряду (1)

Якщо послідовність має скінчену границю тобто

то говорять, що ряд збігається і його сума дорівнює . Якщо ж границі послідовних часткових сум не існує, або ця границя дорівнює нескінченності , то ряд називають розбіжним.

Приклад.

Ряд

називається рядом геометричної прогресії зі знаменником . Нехай

1) при , – ряд розбіжний;

2) при непарне, парне – границі не існує, ряд розбіжний.

3) при , ;

3.1) при – ряд розбіжний;

3.2) при – ряд збігається.

Приклад.

Ряд

називають гармонічним рядом. Гармонічний ряд розбіжний.

2. Властивості числових рядів.

1. Збіжність або розбіжність ряду не зміниться, якщо відкинути, або додати скінчене число членів ряду.

2. Якщо ряд (1) збігається і його сума дорівнює , то ряд

де , також збігається і його сума дорівнює .

3. Якщо ряди і – збіжні і їх суми відповідно рівні і , то збіжні і ряди: , і їх суми рівні відповідно , .

3. Необхідна ознака збіжності числового ряду.

Теорема 1 Якщо ряд (1) збіжний, то його -й член прямує до нуля при необмеженому зростані , тобто

Ця ознака не є достатньою для збіжності тобто: коли , то це НЕ означає, що ряд збіжний. Дійсно для -ого члену ряду , а саме виконується рівність , але цей ряд є розбіжним.

Наслідок. (достатня умова розбіжності) Якщо -й член ряду не прямує до нуля при , то ряд розбіжний.