Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Полтавський національний технічний університет

імені Юрія Кондратюка

Кафедра вищої математики

Конспект лекцій

з вищої математики

для студентів факультету менеджменту та бізнесу

із спеціальностей 6.030507, 6.030601 , 6.030509.

Полтава 2011

Конспект лекцій з вищої математики для студентів факультету менеджменту та бізнесу із спеціальностей 6.030507, 6.030601 , 6.030509.

Вища математика.-Полтава: ПолтНТУ, 2011. - 52 с.

Укладач: О.Г. Плюхін, кандидат фізико-математичних наук, старший викладач кафедри вищої математики ПолтНТУ імені Юрія Кондратюка

Відповідальний за випуск: Cєров М.І., завідувач кафедри вищої математики, доктор фізико-математичних наук, професор.

Рецензент: Малінський С.М., к.ф.-м.н., доцент.

Затверджено науково-методичною радою університету

від ________2011 р., протокол № __

26.01.02.05

Тема: Матриці. Дії над матрицями. Поняття визначників другого і третього порядків. Властивості визначників.

План.

1. Основні відомості про матриці.

2. Лінійні операції над матрицями.

3. Добуток матриць.

4. Визначники та їх обчислення.

5. Основні властивості визначників.

1. Основні відомості про матриці.

ОЗ 1 Матрицею розміру на називають прямокутну таблицю чисел, що складається з рядків і стовпців. Позначення матриці:

Числа називають елементами матриці, де – номер рядка, а – номер стовпця, на перетині яких міститься елемент

Матриці позначають великими літерами

ОЗ 2 Дві матриці вважаються рівними, якщо в них однакові кількості рядків і стовпців, а також рівні між собою всі відповідні елементи.

ОЗ 3 Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називають нульовою і позначають так

ОЗ 4 Матрицю, в якій -число рядків не дорівнює -числу її стовбців , називають прямокутною.

ОЗ 5 Квадратною називають матрицю, в якої кількість рядків дорівнює кількості стовпців, тобто і позначають так

Число називають порядком матриці. Елементи квадратної матриці утворюють її головну діагональ, а елементи – побічну діагональ.

2. Лінійні операції над матрицями.

ОЗ 6 Сумою (різницею) двох матриць і розміру наз. таку матрицю розміру , елементи якої визначаються рівністю . Позначення суми (різниці):

ОЗ 7 Добутком матриці на дійсне число називають матрицю , елементи якої визначаються рівністю Це записують так: або .

Властивості лінійних операцій над матрицями.

1. A+B=B+A.

2. (A+B)+C=A+(B+C).

3. A+0=A.

4. A+(-A)=0.

5. 1*A=A.

6. A)= A

7. (A+B)= A+ B.

8. ( + )A= A+ B.

3. Добуток матриць.

ОЗ 8 Матрицю наз. узгодженою з матрицею , якщо кількість стовпців матриці дорівнює кількості рядків матриці .

Нехай матриця тобто має розмір , а матриця тобто має розмір .

ОЗ 9 Добутком матриці на матрицю наз. матрицю розміру , елементи якої визначають рівністю

Отже, щоб дістати елемент матриці , треба знайти суму добутків елементів го рядка матриці на відповідні елементи -го стовпця матриці .

Властивості операції множення матриць.

1. AE=EA=A.

2. A*=0*A=0.

3. (AB)C=A(BC).

4. (B+C)=AB+AC.

5.(A+B)C=AC+BC.

6. (AB)=( A)B= A( B).$

4. Визначники та їх обчислення.

ОЗ 10 Визначником (детермінантом) називається вираз, складений за певним законом з елементів квадратної матриці. Позначають визначник так

де – елементи визначника,

ОЗ 11 Визначником другого порядку називається вираз

де – елементи визначника, – елементи головної діагоналі, – елементи побічної діагоналі.

ОЗ 12 Визначником третього порядку називається вираз

де – елементи визначника, – елементи головної діагоналі, – елементи побічної діагоналі.

Правило трикутників.

ОЗ 13 Мінором елемента матриці го порядку називають визначник матриці -го порядку, добутої з матриці вилученням її -го рядка та -го стовпця.

ОЗ 14 Алгебраїчним доповненням елемента матриці -го порядку називається його мінор, взятий зі знаком

Теорема 1 Визначник квадратної матриці порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення:

(розклад визначника за елементами -го рядка, ).