1. Поняття функції 2-ох, 3-ох, багатьох змінних. Область визначення і множина значень.
– аргумент,
– область визначення,
– множина значень.
На практиці часто приходиться мати справу з величинами, чисельні значення яких залежать від значень кількох величин, які змінюються незалежно одна від одної. Вивчення таких величин приводить до поняття функції кількох змінних.
Прикладом
функції багатьох змінних (економічним)
може бути виручка магазину
де
-- кількість проданих одиниць товару,
-- вартість однієї одиниці. Фізичний
приклад -- температура
.
ОЗ
3 Функцією
двох змінних
і
,
називається правило або закон
за яким кожній парі чисел
ставиться у відповідність одне чи кілька
чисел
і записується так
або
(1)
У
(1) змінні
та
називаються незалежними змінними, або
аргументами, а змінна
– залежною змінною, або функцією. Множина
пар чисел
,
для яких визначена функція
,
називається областю визначення цієї
функції і позначається
.
Множина
називається множиною значень функції
.
ОЗ 4 Якщо кожній парі чисел з області визначення відповідає одне значення , то функція називається однозначною, в іншому разі -- багатозначною.
Приклад.
Знайти і геометрично зобразити область
визначення функції
.
Знайти множину значень.
Розв'язок.
Область визначення -- дивись рисунок
(1).
ОЗ
5 Функцією
трьох змінних
,
називається правило або закон
за яким кожній трійці чисел
ставиться у відповідність одне чи кілька
чисел
і записується так
або
.
Рисунок
1:
Рисунок 2:
ОЗ
6 Функцією
n-змінних
,
називається правило або закон
за яким кожним n числам
ставиться у відповідність одне чи кілька
чисел
і записується так
(5)
2. Поняття графіка функцій двох змінних.
Приклад. Побудувати графік функцій . Розв'язок. Використавши метод перерізів, отримуємо рисунок (2).
ОЗ 7 Графіком функції двох змінних (1) називають деяку поверхню 3-охвимірного простору.
Тобто
графік – це множина точок
,
координати яких задовольняють рівняння
(1).
Зв'язок
між графіком і областю визначення:
проекція поверхні на множину
збігається з областю визначення функції
(див. рис.1, 2).
ОЗ
8 Криві
лінії L, що лежать у площині
і мають рівняння
--стала) називають лініями рівня функції
(1).
3. Поняття частиного приросту функції, повного приросту функції.
Якщо
у функції декількох змінних
змінна
одержить приріст
,
а всі інші незалежні змінні зафіксувати,
тоді функція одержить частинний приріст
за
аргументом
.
Приклад. Знайти частинний приріст функції (1) за аргументом .
Розв'язок.
.
ОЗ
9 Повним
приростом функції
в точці
який відповідає приростам аргументів
,
називається різниця
Приклад.
Записати повний приріст функції (1) в
точці
Розв'язок.
.
4. Поняття частиних похідних 1-го, 2-го порядку і техніка їх знаходження.
ОЗ
10 Якщо
існує границя
незалежна від способу прямування
,
тоді її називають частинною похідною
першого порядку функції
по змінній
і позначають
або
або
.
Отже,
за означенням
.
При знаходженні частинної похідної по змінній усі інші аргументи слід вважати постійними величинами і тому можна використовувати правила диференціювання та таблицю похідних функцій однієї змінної.
ОЗ 11 Частинними похідними 2-го порядку функції називають частинні похідні від її частинних похідних першого порядку і записують так
Порядок диференціювання по різних змінних не впливає на остаточний результат.
Тема: Екстремум функції.
План.
1. Поняття екстремуму функції 2-ох змінних.
2. Найбільше і найменше значення функції 2-ох змінних в замкненій області.
3. Умовний екстремум.