1.2 Перетворення числової інформації

У процесі перетворення інформації, яку несуть цифрові сигнали, у цифровій системі (пристрої) виникає необхідність переводу чисел з однієї системи числення в іншу еквівалентну систему. Це означав що, наприклад, десятковому числу А має відповідати двійкове число А₂

(1.2)

де aj = 0,1,2,...,9 - цифра в і-му розряді (m+n) -розрядного числа А10; аj=0 або aj=1 – цифр в j-му розряді (k+l) -розрядного двійкового числа A2 .

Перевід чисел з будь-якої позиційної системи числення у код "10" вже розглядався у підрозд.1.1. Для цього досить скористатися виразом (1.1), з допомогою якого розрахована сума ряду дає шуканий результат.

Розглянемо тепер перевід чисел у різних системах числення. Загальним правилом переводу числа з однієї системи числення до іншої е виконання таких послідовних кроків:

1) ділення в цілих числах заданого числа AР на основу Р тої системи, в яку переводиться дане число АР ;

2) якщо частка не дорівнює нулю, її слід взяти за нове число і повторити операцію п.1; якщо частка дорівнює нулю, перейти до п.3;

З) виписати всі остачі у зворотному порядку, починаючи з останньої, і взяти їх за цифри шуканого числа an-1 an-2 … a1 a0

За такими самими правилами виконуються взаємні перетворення (переводи) в інших системах числення. Тільки при цьому ділити або множити потрібно на число, яке дорівнює основі тієї системи числення, до якої треба перейти. Розглянемо приклад переводу числа 118₁₀ з десяткової системи числення в двійкову:

Записуючи неподільну частку і залишки в порядку, зворотному їхній появі, знаходимо що 118₁₀=1110110₂

1.3 Двійкова арифметика

У цифрових та мікропроцесорних пристроях над двійковими числами виконуються як логічні, так і арифметичні операції. Арифметичні операції (додавання, віднімання, множення, ділення) над двійковими числами здійснюються (реалізуються) з допомогою спеціальних алгоритмів, які не використовуються у десятковій системі числення. У цих алгоритмах переважає операція додавання як додатних, так і від’ємних чисел, яку досить просто реалізувати.

Цифрові пристрої оперують тільки цілими і дійсними числами. Останні можуть бути подані з фіксованою або з плаваючою комою (точкою) (2;4). Незалежно від форм зображення знаки дійсних чисел "+" і "-" в ЦТ кодують цифрами - відповідно нулем (0) і одиницею (1).

Основною арифметичною операцією, яка використовується в цифрових пристроях для виконання різних обчислень, е операція алгебраїчного додавання двійкових чисел. Операція віднімання легко виконується через додавання, якщо змінити знак від’ємника на протилежний, а саме: А-В=А+(-В). Операції множення і ділення також виконуються з допомогою операції додавання та деяких логічних дій при застосуванні зсуву часткових результатів ліворуч або праворуч

Зупинимось на операції додавання двійкових чисел.

Операція додавання в цифрових пристроях виконується порозрядно, починаючи з молодших розрядів доданків. При цьому в кожному одноіменному розряді доданків підсумовуються відповідні цифри та переноситься попередній розряд суми. Додавання молодших розрядів двійкових чисел здійснюється лише з двома доданками:

• 0+0=0; 0+1=1; 1+0=1; 1+1=10,

де у числі 10 цифра 1 - перенос у наступний (старший) розряд.

Пристрій, що виконує операцію додавання двійкових чисел, називається суматором, а пристрій, що реалізує підсумовування молодших розрядів двійкового числа, - напівсуматором. Порозрядне підсумовування двох чисел як суматор, так і напівсуматор виконують за модулем 2 згідно з правилом 00=0; 0  1 = 1; 1  0 = 1; 1  1 = 0, яке це застосовують для порівняння двох чисел.

Для виконання операції додавання від’ємних чисел застосовуються спеціальні коди - обернений та доповняльний. Обернений код від’ємного числа А2 отримується при інвертуванні всіх цифр у кожному розряді, тобто заміні нуля одиницею, одиниці нулем, а у знаковому розряді ставиться одиниця. Отже, обернений код числа А10 =-28 буде . Якщо виконувати операцій ,тобто зображати від’ємне число В2 оберненим кодом , може виникнути одиниця переносу, яку потрібно додати до молодшого розряду одержаної суми. Однак цю операцію, яка називається циклічним переносом, технічно реалізувати не вигідно, бо вона вимагає ще однієї операції додавання, що істотно збільшує час виконання дії. Тому для додавання від’ємних чисел перевага надається доповняльному коду числа , який утворюється від оберненого додаванням одиниці до його молодшого розряду. При цьому відпадає необхідність у циклічному переносі одиниці та ще одного додавання. У випадку переповнення у знаковому розряді одиниця переносу просто відкидається і не враховується. Тому всі від’ємні числа, які використовуються для виконання різних арифметичних дій, подають у доповняльному коді. Отже, доповняльний код від’ємного n-розрядного числа А2 одержується з оберненого як (у молодшому розряді), де , -від’ємне число в оберненому коді.

Якщо у знаковому розряді суми отримано одиницю, тобто результат від’емний, значення отриманого числа є у доповняльному коді, а якщо - нуль, результат додавання отримано у прямому коді. Сума доповняльних кодів двійкових чисел має доповняльний код результату. Отже, віднімання чисел довільного знака можна звести до операції додавання: