- •Министерство общего и профессионального образования
- •Учебное пособие
- •Предисловие.
- •Глава I. Фундаментальные идеи квантовой механики
- •§1. Идея о дискретности значений физических величин
- •1.1. Классическая теория равновесного излучения
- •1.2. Гипотеза Планка. Формула Планка. Фундаментальная постоянная Планка.
- •§2. Корпускулярно-волновой дуализм.
- •2.1. Квантовая теория света Эйнштейна.
- •2.2. Гипотеза де Бройля. Волна де Бройля.
- •2.3. Соотношение неопределенностей. Волновой дуализм.
- •§3. Статистический характер квантовых закономерностей.
- •3.1. Вероятностный характер поведения микрообъектов.
- •3.2. Статистический характер квантовой механики.
- •3.3. Статистическая интерпретация волновой функции.
- •3.4. Интерференция электронов от двух щелей.
- •Глава II. Математический аппарат и аксиоматика квантовой механики.
- •§ 4. Математический аппарат квантовой механики.
- •4.1. Векторы в линейном векторном пространстве.
- •4.2. Операторы в линейном векторном пространстве.
- •В) Собственные векторы и собственные значения самосопряжённых операторов.
- •§5. Принципы и постулаты квантовой механики.
- •1. Принцип соответствия.
- •2. Определение состояния квантовой системы.
- •4.Постулат квантования.
- •5.1. Принцип соответствия.
- •5.2. Определение состояния квантовой системы.
- •Принцип суперпозиции состояний.
- •Постулат квантования.
- •Правила квантования.
- •5.6. Вычисление средних значений физических величин.
- •5.7. Принцип тождественности (неразличимости) одинаковых частиц.
- •Глава 3. Основы теории представлений
- •§6. Координатное представление
- •6.1. Векторы состояния в координатном представлении
- •6.2. Операторы физических величин в координатном представлении
- •Операторы кинетической энергии, момента импульса, функции Гамильтона, энергии в координатном представлении.
- •6.3. Средние значения физических величин в координатном представлении
- •§7. Импульсное представление
- •7.1. Векторы состояния и операторы физических величин в импульсном представлении
- •§8. Матричное представление.
- •8.1. Векторы состояния в матричном представлении
- •8.2. Операторы физических величин в матричном представлении
- •8.3. Средние значения физических величин и матрицы плотности
- •Глава IV. Одновременная измеримость физических величин. Соотношения неопределенностей Гейзенберга.
- •§ 9. Одновременная измеримость физических величин.
- •9.1. О возможности одновременно точного определения динамических переменных (наблюдаемых).
- •9.2. Условие возможности одновременного измерения двух физических величин.
- •§ 10. Полный набор физических величин. Перестановочные соотношения Гейзенберга.
- •§ 11. Вывод соотношений неопределенностей для координат и канонически сопряженных импульсов.
- •§ 12. Соотношения неопределенностей для произвольных
- •Глава V. Квантовая динамика. Эволюция квантовых систем во времени
- •§13. Эволюция квантовой системы во времени: уравнение Гейзенберга
- •§14. Шредингеровская картина движения. Волновое уравнение Шредингера
- •§15. Уравнение фон Неймана. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени.
- •15.1. Уравнение фон Неймана для матрицы плотности.
- •15.2. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени
- •15.3. Принцип причинности
- •§16. Следствия из квантовых уравнений движения.
- •16.1. Стационарные состояния в квантовой механике.
- •16.2. Законы сохранения (интегралы движения) в квантовой механике
- •Закон сохранения энергии.
- •Закон сохранения импульса.
- •Закон сохранения момента импульса.
- •Глава VI. Квантовая теория гармонических колебаний и волн.
- •1) Квантовая электродинамика.
- •2) Квантовая теория колебаний кристаллической решётки.
- •3) Квантовая теория колебаний атомов в молекуле.
- •4) Частица в потенциальной яме.
- •§17. Спектр значений энергии гармонического осциллятора.
- •Координатное представление;
- •Импульсное представление;
- •§18. Стационарные состояния гармонического осциллятора. Координатное, импульсное и матричное представления.
- •1). Координатное представление.
- •2). Импульсное представление.
- •3). Матричное представление.
- •Глава VII. Квантовая теория момента.
- •§ 19. Общие свойства и особенности квантового момента.
- •§ 20. Собственные значения и собственные векторы проекции и квадрата момента.
- •§ 21. Орбитальный и спиновый моменты. Спин как внутренняя степень свободы.
- •§ 22. Спин электрона. Матрицы Паули и их свойства.
- •§ 23. Сложение квантовых моментов.
- •§ 24. Уравнение Паули. Собственный магнитный момент электрона.
- •§ 25. Спин электрона и релятивистская теория. Уравнение Дирака.
- •Глава VIII. Движение квантовых частиц в сферически симметричном потенциале. Атом водорода.
- •§25. Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции.
- •§26. Движение электрона в кулоновском потенциале. Стационарное уравнение Шредингера для радиальной составляющей волновой функции. Асимптотика уравнения на малых и больших расстояниях.
- •§27. Спектр энергии. Радиальные волновые функции. Полиномы Лаггера.
- •§28. Сферические гармоники и их свойства.
- •28.1 Шаровые функции.
- •28.2 Свойства сферических гармоник и их явные выражения.
- •28.3 Закон сохранения чётности.
- •Глава VIII. Преобразования симметрии
- •§ 8.1. Необходимые и достаточные признаки симметрии
- •§ 8.2. Микроскопическая обратимость во времени в квантовой механике
- •§ 8.3. Бесконечно малые преобразования симметрии. Законы сохранения в квантовой механике
- •§ 8.4. Трансляционная симметрия кристаллических тел. Функции Блоха
§ 8.1. Необходимые и достаточные признаки симметрии
Рассмотрим математическую формулировку преобразований симметрии.
Введем некоторый оператор , который действует на любое состояние системы по правилу:
,
где - новое состояние системы.
И потребуем, чтобы обратное преобразование переводило систему обратно в исходное состояние, т.е.
.
Таким образом, из этих соотношений следует, что , т.е. произведение и есть тождественное преобразование.
Все операции в квантовой механике инвариантны относительно этого преобразования. Рассмотрим оператор : и подействуем на это выражение оператором :
.
Если на систему еще подействовать тождественным оператором , то мы получаем такое выражение:
.
Обозначим оператор и тогда получим выражение:
.
Таким образом, любое соотношение между физическими величинами после преобразования не меняет вид:
.
Найдем класс преобразований, которые оставляют без изменения измерения. Для этого выясним вид оператора, при котором амплитуда вероятности оставалась бы без изменений. Потребуем, чтобы . Подробнее рассмотрим :
.
Таким образом, из рассмотренного соотношения вытекает, что данное преобразование оставляет амплитуду вероятности неизменной, если равен единичному оператору, т.е.
.
А это есть унитарное преобразование.
При унитарном преобразовании эрмитовский оператор переходит в эрмитовский. Покажем это. Пусть - эрмитовский оператор. Докажем, что после унитарного преобразования тоже будет эрмитовским оператором. Здесь . То есть нужно доказать тот факт, что если , то после преобразования должно получиться .
.
Унитарное преобразование есть преобразование симметрии данной физической системы, если после преобразования не меняются уравнения физической системы.
Будем исходить из уравнения Шредингера:
.
Определим класс преобразований : , не меняющих это уравнение, то есть нужно посмотреть, при каких условиях преобразование переводит уравнение Шредингера для вектора в уравнение такого же вида только для вектора .
Для этого подействуем на уравнение Шредингера оператором :
Таким образом, у нас есть два условия (необходимое и достаточное), при выполнении которых преобразование есть преобразование симметрии:
1)
2)
§ 8.2. Микроскопическая обратимость во времени в квантовой механике
Введем оператор обращения во времени, действующий по закону:
.
Вектор комплексный, и мы можем ввести оператор комплексного сопряжения:
.
Запишем новый оператор . И теперь, если к оператору применить необходимое и достаточное условия, то он будет считаться преобразованием симметрии. А отсюда следует, что уравнения движения инвариантны относительно обращения во времени.
Таким образом, все физические величины делятся на два класса: которые меняют знак при обращении времени (например, скорость, импульс) и которые не меняют (например, координата, кинетическая энергия).
§ 8.3. Бесконечно малые преобразования симметрии. Законы сохранения в квантовой механике
Пусть не содержит обращения во времени и является преобразованием симметрии. Представим, что есть сколь угодно малое значение , которое определяет :
,
где - эрмитовский оператор.
Если разложить значение оператора в ряд, то получится:
,
т.е. преобразование отличается от тождественного на бесконечно малую величину. - унитарное преобразование и для него выполняется два условия симметрии, отсюда следует, что – преобразование симметрии.
Рассмотрим теорему.
Теорема: Если имеется сколь угодно малое преобразование симметрии, то имеется сохранение величины .
Доказательство:
.
Имеет место также обратная теорема.
Теорема обратная: Пусть - интеграл движения, тогда мы можем построить унитарный оператор симметрии.
Доказательство:
.
Рассмотрим примеры.
Пусть имеется замкнутая система, в которой интегралами движения являются энергия , обобщенный импульс , момент количества движения . Тогда мы можем сделать вывод о том, что время в системе однородно, а пространство однородно и изотропно.
Покажем это.
1) - интеграл движения и - преобразование симметрии, т.е. однородность во времени;
2) - интеграл движения и - преобразование симметрии, т.е. однородность в пространстве;
3) - интеграл движения и - преобразование симметрии, т.е. изотропность в пространстве.
А теперь рассмотрим, как используется симметрия для решения конкретных задач.