- •Министерство общего и профессионального образования
- •Учебное пособие
- •Предисловие.
- •Глава I. Фундаментальные идеи квантовой механики
- •§1. Идея о дискретности значений физических величин
- •1.1. Классическая теория равновесного излучения
- •1.2. Гипотеза Планка. Формула Планка. Фундаментальная постоянная Планка.
- •§2. Корпускулярно-волновой дуализм.
- •2.1. Квантовая теория света Эйнштейна.
- •2.2. Гипотеза де Бройля. Волна де Бройля.
- •2.3. Соотношение неопределенностей. Волновой дуализм.
- •§3. Статистический характер квантовых закономерностей.
- •3.1. Вероятностный характер поведения микрообъектов.
- •3.2. Статистический характер квантовой механики.
- •3.3. Статистическая интерпретация волновой функции.
- •3.4. Интерференция электронов от двух щелей.
- •Глава II. Математический аппарат и аксиоматика квантовой механики.
- •§ 4. Математический аппарат квантовой механики.
- •4.1. Векторы в линейном векторном пространстве.
- •4.2. Операторы в линейном векторном пространстве.
- •В) Собственные векторы и собственные значения самосопряжённых операторов.
- •§5. Принципы и постулаты квантовой механики.
- •1. Принцип соответствия.
- •2. Определение состояния квантовой системы.
- •4.Постулат квантования.
- •5.1. Принцип соответствия.
- •5.2. Определение состояния квантовой системы.
- •Принцип суперпозиции состояний.
- •Постулат квантования.
- •Правила квантования.
- •5.6. Вычисление средних значений физических величин.
- •5.7. Принцип тождественности (неразличимости) одинаковых частиц.
- •Глава 3. Основы теории представлений
- •§6. Координатное представление
- •6.1. Векторы состояния в координатном представлении
- •6.2. Операторы физических величин в координатном представлении
- •Операторы кинетической энергии, момента импульса, функции Гамильтона, энергии в координатном представлении.
- •6.3. Средние значения физических величин в координатном представлении
- •§7. Импульсное представление
- •7.1. Векторы состояния и операторы физических величин в импульсном представлении
- •§8. Матричное представление.
- •8.1. Векторы состояния в матричном представлении
- •8.2. Операторы физических величин в матричном представлении
- •8.3. Средние значения физических величин и матрицы плотности
- •Глава IV. Одновременная измеримость физических величин. Соотношения неопределенностей Гейзенберга.
- •§ 9. Одновременная измеримость физических величин.
- •9.1. О возможности одновременно точного определения динамических переменных (наблюдаемых).
- •9.2. Условие возможности одновременного измерения двух физических величин.
- •§ 10. Полный набор физических величин. Перестановочные соотношения Гейзенберга.
- •§ 11. Вывод соотношений неопределенностей для координат и канонически сопряженных импульсов.
- •§ 12. Соотношения неопределенностей для произвольных
- •Глава V. Квантовая динамика. Эволюция квантовых систем во времени
- •§13. Эволюция квантовой системы во времени: уравнение Гейзенберга
- •§14. Шредингеровская картина движения. Волновое уравнение Шредингера
- •§15. Уравнение фон Неймана. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени.
- •15.1. Уравнение фон Неймана для матрицы плотности.
- •15.2. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени
- •15.3. Принцип причинности
- •§16. Следствия из квантовых уравнений движения.
- •16.1. Стационарные состояния в квантовой механике.
- •16.2. Законы сохранения (интегралы движения) в квантовой механике
- •Закон сохранения энергии.
- •Закон сохранения импульса.
- •Закон сохранения момента импульса.
- •Глава VI. Квантовая теория гармонических колебаний и волн.
- •1) Квантовая электродинамика.
- •2) Квантовая теория колебаний кристаллической решётки.
- •3) Квантовая теория колебаний атомов в молекуле.
- •4) Частица в потенциальной яме.
- •§17. Спектр значений энергии гармонического осциллятора.
- •Координатное представление;
- •Импульсное представление;
- •§18. Стационарные состояния гармонического осциллятора. Координатное, импульсное и матричное представления.
- •1). Координатное представление.
- •2). Импульсное представление.
- •3). Матричное представление.
- •Глава VII. Квантовая теория момента.
- •§ 19. Общие свойства и особенности квантового момента.
- •§ 20. Собственные значения и собственные векторы проекции и квадрата момента.
- •§ 21. Орбитальный и спиновый моменты. Спин как внутренняя степень свободы.
- •§ 22. Спин электрона. Матрицы Паули и их свойства.
- •§ 23. Сложение квантовых моментов.
- •§ 24. Уравнение Паули. Собственный магнитный момент электрона.
- •§ 25. Спин электрона и релятивистская теория. Уравнение Дирака.
- •Глава VIII. Движение квантовых частиц в сферически симметричном потенциале. Атом водорода.
- •§25. Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции.
- •§26. Движение электрона в кулоновском потенциале. Стационарное уравнение Шредингера для радиальной составляющей волновой функции. Асимптотика уравнения на малых и больших расстояниях.
- •§27. Спектр энергии. Радиальные волновые функции. Полиномы Лаггера.
- •§28. Сферические гармоники и их свойства.
- •28.1 Шаровые функции.
- •28.2 Свойства сферических гармоник и их явные выражения.
- •28.3 Закон сохранения чётности.
- •Глава VIII. Преобразования симметрии
- •§ 8.1. Необходимые и достаточные признаки симметрии
- •§ 8.2. Микроскопическая обратимость во времени в квантовой механике
- •§ 8.3. Бесконечно малые преобразования симметрии. Законы сохранения в квантовой механике
- •§ 8.4. Трансляционная симметрия кристаллических тел. Функции Блоха
§ 23. Сложение квантовых моментов.
Как правило, при анализе физических явлений приходится иметь дело со сложной системой, состоящей из нескольких подсистем. При этом возникает вопрос о правилах сложения квантовых моментов, которые существенно отличаются от сложения векторных классических величин. Эта проблема существует даже для отдельной частицы, имеющей собственный момент – спин. Полный момент в этом случае будет состоять из и : .
Пусть система состоит из двух подсистем с квантовыми моментами и соответственно. Тогда в силу аддитивности момента квантовый момент системы равен:
где аналогично . Также будем считать, что заданы величины:
и пусть они не меняются в процессе взаимодействия. Тогда Но с другой стороны, . Возникает вопрос: какие значения может принимать при заданных квантовых числах и ? Прежде чем решать поставленную задачу, выберем систему базисных векторов.
Для подсистемы (1) можно одновременно задать и . Состояние подсистемы можно описать с помощью волновой функции . Аналогично, для подсистемы (2): .
Поскольку операторы моментов, относящихся к разным подсистемам, коммутируют друг с другом, то следующие величины одновременно измеримы и образуют полный набор: . Соответствующие им квантовые числа: . Собственный вектор, характеризующий состояние всей системы, есть: . Число таких независимых состояний: . Таким образом, система базисных векторов является полной, и любой вектор состояния может быть разложен следующим образом:
. (23.1)
Существует и другая возможность выбора системы базисных векторов. Можно задать полный момент всей системы и его проекцию , так как
.
Таким образом, величины образуют полный набор величин с соответствующими квантовыми числами . Система базисных векторов состоит из векторов. Любое состояние можно разложить по базисным векторам .
Итак, существуют два набора базисных векторов, т.е. два способа задания состояния квантовой системы. Отметим особенности этих двух базисов. Из определения оператора полного момента следует, что если и заданы, то задана и проекция полного момента. Т.к. , то
;
.
Однако, , т.е. нельзя одновременно задать и ; и , а значит и , и . Эту наиболее важную особенность можно наглядно изобразить на векторной модели сложения моментов. Квантовые числа и нельзя фиксировать одновременно с .
Любой из базисных векторов можно разложить по полному набору :
. (23.2)
Коэффициенты разложения называют коэффициентами Клебша-Гордона. Квадрат модуля показывает вероятность измерения проекции , при заданных числах .
Очевидно, что можно записать и обратное разложение:
. (23.3)
Коэффициенты называются обратными коэффициентами Клебша-Гордона. Они взаимосвязаны с коэффициентами .
Пусть и – фиксированные, т.е. и имеют определенные значения, которые не меняются в процессе взаимодействия.
Каковы же возможные значения при фиксированных и ? Для ответа на этот вопрос рассмотрим следующую теорему.
Теорема: При заданных значениях квадратов моментов двух частей системы , , определяемых квантовыми числами и , значение квантового числа , определяющего квадрат полного момента , принимает следующий ряд значений:
. (23.4)
Доказательство: Для доказательства воспользуемся следующими свойствами:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Будем считать для определенности, что . Пусть (поворот системы координат). Тогда , здесь . Мы предположили, что , следовательно, мы можем положить:
.
Для нахождения возможных значений будем перебирать различные значения : . Тогда будет принимать следующий ряд значений:
.
Докажем, что других значений нет. Число базисных векторов :
Т.е. других значений квантовое число иметь не может. Теорема доказана.
В качестве простейшего примера на сложение квантовых моментов мы рассмотрим сложение двух спинов.
Пусть имеется квантовая система, состоящая из двух электронов. Квантовые числа, соответствующие спинам электронов: . Обозначим спиновое состояние частицы с проекцией на ось - , а с проекцией – . Таким образом, получим всего четыре независимых спиновых состояния с определенной проекцией каждого спина: . Любое состояние квантовой системы из двух электронов может быть представлено как суперпозиция четырех базисных векторов.
Теперь рассмотрим состояние , где - суммарный спиновый момент, - проекция полного момента. По правилу сложения имеем:
.
Отсюда следует, что .
При возможно только одно состояние системы . Такое состояние называется синглетным.
При возможны три состояния: . Такое состояние системы называется триплетным. Таким образом, любое состояние системы можно выразить через четыре этих вектора.
Теперь свяжем между собой два базисных набора, т.е. найдем коэффициенты Клебша-Гордона. Т.к. и , то можно сделать вывод, что , т.е. . Аналогично показывается, что .
Построим теперь :
.
С другой стороны, . Подействуем оператором на вектор :
,
где .
Приравниваем эти выражения и получаем:
Остается построить еще синглетное состояние :
.
Таким образом, Векторы и нормированные, поэтому .
,
т.к. векторы тоже нормированные вектора. Следовательно, . Окончательно получаем, что
.
На основе полученных формул можно сделать вывод: триплетное состояние симметрично относительно перестановки спинов, а синглетное состояние антисимметрично.