28.2 Свойства сферических гармоник и их явные выражения.
Остановимся на свойствах шаровых функций, следующих из общей теории момента.
1)Сферические гармоники являются общими собственными функциями операторов и
2)Сферические гармоники удовлетворяют следующему условию ортонормировки:
(28.6)
где
- символы Кронекера, которые определяются
следующим соотношением
а
- элемент объёма.
Иначе условие (28.6) можно записать в виде:
Условие нормировки с учётом (28.5) примет вид:
3)Из общей теории момента следует:
(28.7)
(27.8)
В частности, из уравнения (28.7) следует:
(28.9)
Перечисленных свойств достаточно для выполнения любых расчётов, связанных с шаровыми функциями.
Для нахождения угловой
зависимости сферических гармоник
следует воспользоваться явным выражением
оператора
в сферической системе координат.
Подставляя (28.2) и (28.5) в (28.9) получим
дифференциальное уравнение
(28.10)
решение которого имеет вид:
(28.11)
Ниже в таблице приведён вид некоторых сферических гармоник.
Таблица. Сферические гармоники.
l |
m |
Угловая зависимость амплитуд |
Состояние |
Чёт-ность |
0 |
0 |
|
S |
+ |
0 |
0
±1 |
|
P |
- |
2 |
0
±1
±2 |
|
D |
+ |
l |
m |
|
|
(-1)l |
Рассмотрим распределение
амплитуд наблюдения электрона в том
или ином месте атома водорода на примере
электрона в р-состоянии (m=0):
.
Это означает, что амплитуда положительна
в верхней части (
),
отрицательна в нижней части (
)
и равна нулю при
.
Возводя её в квадрат получим зависимость
вероятности от
(см. рис ).
28.3 Закон сохранения чётности.
Сферические функции
обладают определённой чётностью при
преобразовании
:
причём оператор этого
преобразования
,
называемый чётностью, удовлетворяет
следующим соотношениям:
Собственные значения
оператора
принимают лишь два значения
,
в зависимости от
.
1) Если
- чётное, то
и волновая функция описывает чётное
состояние (см. таблицу).
2) Если
- нечётное, то
и волновая функция соответствует
нечётному состоянию.
Глава VIII. Преобразования симметрии
Особенности любой квантовой системы связаны с определенной симметрией. Есть определенные типы симметрии в квантовой теории, которые не встречаются в классической. Наша задача сейчас – рассмотреть особенности преобразований симметрии в квантовой физике.
Под симметрией понимается совокупность определенных преобразований, относительно которых уравнения движения остаются неизменными.