- •Министерство общего и профессионального образования
- •Учебное пособие
- •Предисловие.
- •Глава I. Фундаментальные идеи квантовой механики
- •§1. Идея о дискретности значений физических величин
- •1.1. Классическая теория равновесного излучения
- •1.2. Гипотеза Планка. Формула Планка. Фундаментальная постоянная Планка.
- •§2. Корпускулярно-волновой дуализм.
- •2.1. Квантовая теория света Эйнштейна.
- •2.2. Гипотеза де Бройля. Волна де Бройля.
- •2.3. Соотношение неопределенностей. Волновой дуализм.
- •§3. Статистический характер квантовых закономерностей.
- •3.1. Вероятностный характер поведения микрообъектов.
- •3.2. Статистический характер квантовой механики.
- •3.3. Статистическая интерпретация волновой функции.
- •3.4. Интерференция электронов от двух щелей.
- •Глава II. Математический аппарат и аксиоматика квантовой механики.
- •§ 4. Математический аппарат квантовой механики.
- •4.1. Векторы в линейном векторном пространстве.
- •4.2. Операторы в линейном векторном пространстве.
- •В) Собственные векторы и собственные значения самосопряжённых операторов.
- •§5. Принципы и постулаты квантовой механики.
- •1. Принцип соответствия.
- •2. Определение состояния квантовой системы.
- •4.Постулат квантования.
- •5.1. Принцип соответствия.
- •5.2. Определение состояния квантовой системы.
- •Принцип суперпозиции состояний.
- •Постулат квантования.
- •Правила квантования.
- •5.6. Вычисление средних значений физических величин.
- •5.7. Принцип тождественности (неразличимости) одинаковых частиц.
- •Глава 3. Основы теории представлений
- •§6. Координатное представление
- •6.1. Векторы состояния в координатном представлении
- •6.2. Операторы физических величин в координатном представлении
- •Операторы кинетической энергии, момента импульса, функции Гамильтона, энергии в координатном представлении.
- •6.3. Средние значения физических величин в координатном представлении
- •§7. Импульсное представление
- •7.1. Векторы состояния и операторы физических величин в импульсном представлении
- •§8. Матричное представление.
- •8.1. Векторы состояния в матричном представлении
- •8.2. Операторы физических величин в матричном представлении
- •8.3. Средние значения физических величин и матрицы плотности
- •Глава IV. Одновременная измеримость физических величин. Соотношения неопределенностей Гейзенберга.
- •§ 9. Одновременная измеримость физических величин.
- •9.1. О возможности одновременно точного определения динамических переменных (наблюдаемых).
- •9.2. Условие возможности одновременного измерения двух физических величин.
- •§ 10. Полный набор физических величин. Перестановочные соотношения Гейзенберга.
- •§ 11. Вывод соотношений неопределенностей для координат и канонически сопряженных импульсов.
- •§ 12. Соотношения неопределенностей для произвольных
- •Глава V. Квантовая динамика. Эволюция квантовых систем во времени
- •§13. Эволюция квантовой системы во времени: уравнение Гейзенберга
- •§14. Шредингеровская картина движения. Волновое уравнение Шредингера
- •§15. Уравнение фон Неймана. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени.
- •15.1. Уравнение фон Неймана для матрицы плотности.
- •15.2. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени
- •15.3. Принцип причинности
- •§16. Следствия из квантовых уравнений движения.
- •16.1. Стационарные состояния в квантовой механике.
- •16.2. Законы сохранения (интегралы движения) в квантовой механике
- •Закон сохранения энергии.
- •Закон сохранения импульса.
- •Закон сохранения момента импульса.
- •Глава VI. Квантовая теория гармонических колебаний и волн.
- •1) Квантовая электродинамика.
- •2) Квантовая теория колебаний кристаллической решётки.
- •3) Квантовая теория колебаний атомов в молекуле.
- •4) Частица в потенциальной яме.
- •§17. Спектр значений энергии гармонического осциллятора.
- •Координатное представление;
- •Импульсное представление;
- •§18. Стационарные состояния гармонического осциллятора. Координатное, импульсное и матричное представления.
- •1). Координатное представление.
- •2). Импульсное представление.
- •3). Матричное представление.
- •Глава VII. Квантовая теория момента.
- •§ 19. Общие свойства и особенности квантового момента.
- •§ 20. Собственные значения и собственные векторы проекции и квадрата момента.
- •§ 21. Орбитальный и спиновый моменты. Спин как внутренняя степень свободы.
- •§ 22. Спин электрона. Матрицы Паули и их свойства.
- •§ 23. Сложение квантовых моментов.
- •§ 24. Уравнение Паули. Собственный магнитный момент электрона.
- •§ 25. Спин электрона и релятивистская теория. Уравнение Дирака.
- •Глава VIII. Движение квантовых частиц в сферически симметричном потенциале. Атом водорода.
- •§25. Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции.
- •§26. Движение электрона в кулоновском потенциале. Стационарное уравнение Шредингера для радиальной составляющей волновой функции. Асимптотика уравнения на малых и больших расстояниях.
- •§27. Спектр энергии. Радиальные волновые функции. Полиномы Лаггера.
- •§28. Сферические гармоники и их свойства.
- •28.1 Шаровые функции.
- •28.2 Свойства сферических гармоник и их явные выражения.
- •28.3 Закон сохранения чётности.
- •Глава VIII. Преобразования симметрии
- •§ 8.1. Необходимые и достаточные признаки симметрии
- •§ 8.2. Микроскопическая обратимость во времени в квантовой механике
- •§ 8.3. Бесконечно малые преобразования симметрии. Законы сохранения в квантовой механике
- •§ 8.4. Трансляционная симметрия кристаллических тел. Функции Блоха
§ 11. Вывод соотношений неопределенностей для координат и канонически сопряженных импульсов.
Физические величины, изображающиеся не коммутирующими операторами в рамках квантовой механики не могут быть одновременно определены (изменены). Наиболее важным является в этом случае вычисление отклонений значений таких величин от средних значений их операторов.
Вычислим отклонение от средних значений операторов двух канонически сопряженных величин: координаты и импульса . Для этого ради простоты рассмотрим одномерный стационарный случай движения частицы вдоль оси OX. Тогда средние значения координаты и импульса в координатном представлении могут быть найдены соответственно из соотношений:
(11.1)
(11.2)
Разброс значений величин около их средних значений характеризуется дисперсией или среднеквадратичным отклонением:
(11.3)
(11.4)
Без ограничения общности доказательства можно выбрать систему координат с началом в центре волнового пакета ( ), причем так, что система координат движется с ним ( ). В этом случае будем иметь:
(11.5)
(11.6)
Для нахождения связи между и рассмотрим интеграл:
, (11.7)
где некоторая вещественная переменная величина, не зависящая от . Выражение (11.7) можно представить в виде неотрицательного трехчлена:
(11.8)
где
, (11.9)
(11.10)
(11.11)
интегралы в (11.10) и (11.11) вычислены по частям и при этом учтены стандартные условия (а именно, конечность), наложенные на волновые функции.
Условие при на основании теоремы о корнях квадратного уравнения принимает вид:
(11.12)
откуда т.е.
(11.13)
Это неравенство представляет строгую формулировку соотношения неопределенностей для координаты и импульса . Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства (11.13), получим:
(11.13’)
Аналогичные соотношения неопределенностей имеют место для координат y, z и сопряженных для них импульсов .
Таким образом, соотношения неопределенностей Гейзенберга для координат и канонически сопряженных импульсов имеют вид:
(11.14)
Соотношения (11.14) показывают, что координаты и сопряженные импульсы не могут быть одновременно точно измерены, и что минимально возможная величина произведения дисперсий измеряемых координаты ( ) и импульса ( ) ограничены постоянной Планка. Это ограничение связано не с методикой измерения, но обусловлено наличием корпускулярно-волновой природы квантовых объектов.
Соотношения неопределенностей (11.14) являются и рабочим инструментом в квантовой механике, позволяя проводить важные количественные оценки: энергии основного состояния атома водорода, минимально возможной энергии у частиц в потенциальных ямах; ответить на вопросы такого типа: могут ли быть электроны в составе атомного ядра и т.д.
В качестве примера подобного использования соотношений неопределенностей оценим минимальную энергию колебаний линейного гармонического осциллятора (ЛГО).
Из классического выражения для энергии ЛГО
(11.15)
где и - масса и собственная частота осциллятора, следует, что энергия будет минимальной, когда значения и минимальны, но ; . Поэтому из соотношений неопределенностей (11.14) следует связь минимальных значений координаты и импульса: . Подставляя в формулу энергии ЛГО, получим
(11.16)
Исследуя выражение (11.16) на экстремум ( ), находим . Следовательно, минимальная энергия ЛГО оказывается равной:
, (11.17)
это так называемая энергия нулевых колебаний осциллятора, отличие ее от нуля иллюстрирует принципиально общее положение квантовой механики: нельзя реализовать микрообъект на «дне потенциальной ямы», причем этот вывод не зависит от вида потенциальной ямы, т.к. является прямым следствием соотношений неопределенностей.