- •Министерство общего и профессионального образования
- •Учебное пособие
- •Предисловие.
- •Глава I. Фундаментальные идеи квантовой механики
- •§1. Идея о дискретности значений физических величин
- •1.1. Классическая теория равновесного излучения
- •1.2. Гипотеза Планка. Формула Планка. Фундаментальная постоянная Планка.
- •§2. Корпускулярно-волновой дуализм.
- •2.1. Квантовая теория света Эйнштейна.
- •2.2. Гипотеза де Бройля. Волна де Бройля.
- •2.3. Соотношение неопределенностей. Волновой дуализм.
- •§3. Статистический характер квантовых закономерностей.
- •3.1. Вероятностный характер поведения микрообъектов.
- •3.2. Статистический характер квантовой механики.
- •3.3. Статистическая интерпретация волновой функции.
- •3.4. Интерференция электронов от двух щелей.
- •Глава II. Математический аппарат и аксиоматика квантовой механики.
- •§ 4. Математический аппарат квантовой механики.
- •4.1. Векторы в линейном векторном пространстве.
- •4.2. Операторы в линейном векторном пространстве.
- •В) Собственные векторы и собственные значения самосопряжённых операторов.
- •§5. Принципы и постулаты квантовой механики.
- •1. Принцип соответствия.
- •2. Определение состояния квантовой системы.
- •4.Постулат квантования.
- •5.1. Принцип соответствия.
- •5.2. Определение состояния квантовой системы.
- •Принцип суперпозиции состояний.
- •Постулат квантования.
- •Правила квантования.
- •5.6. Вычисление средних значений физических величин.
- •5.7. Принцип тождественности (неразличимости) одинаковых частиц.
- •Глава 3. Основы теории представлений
- •§6. Координатное представление
- •6.1. Векторы состояния в координатном представлении
- •6.2. Операторы физических величин в координатном представлении
- •Операторы кинетической энергии, момента импульса, функции Гамильтона, энергии в координатном представлении.
- •6.3. Средние значения физических величин в координатном представлении
- •§7. Импульсное представление
- •7.1. Векторы состояния и операторы физических величин в импульсном представлении
- •§8. Матричное представление.
- •8.1. Векторы состояния в матричном представлении
- •8.2. Операторы физических величин в матричном представлении
- •8.3. Средние значения физических величин и матрицы плотности
- •Глава IV. Одновременная измеримость физических величин. Соотношения неопределенностей Гейзенберга.
- •§ 9. Одновременная измеримость физических величин.
- •9.1. О возможности одновременно точного определения динамических переменных (наблюдаемых).
- •9.2. Условие возможности одновременного измерения двух физических величин.
- •§ 10. Полный набор физических величин. Перестановочные соотношения Гейзенберга.
- •§ 11. Вывод соотношений неопределенностей для координат и канонически сопряженных импульсов.
- •§ 12. Соотношения неопределенностей для произвольных
- •Глава V. Квантовая динамика. Эволюция квантовых систем во времени
- •§13. Эволюция квантовой системы во времени: уравнение Гейзенберга
- •§14. Шредингеровская картина движения. Волновое уравнение Шредингера
- •§15. Уравнение фон Неймана. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени.
- •15.1. Уравнение фон Неймана для матрицы плотности.
- •15.2. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени
- •15.3. Принцип причинности
- •§16. Следствия из квантовых уравнений движения.
- •16.1. Стационарные состояния в квантовой механике.
- •16.2. Законы сохранения (интегралы движения) в квантовой механике
- •Закон сохранения энергии.
- •Закон сохранения импульса.
- •Закон сохранения момента импульса.
- •Глава VI. Квантовая теория гармонических колебаний и волн.
- •1) Квантовая электродинамика.
- •2) Квантовая теория колебаний кристаллической решётки.
- •3) Квантовая теория колебаний атомов в молекуле.
- •4) Частица в потенциальной яме.
- •§17. Спектр значений энергии гармонического осциллятора.
- •Координатное представление;
- •Импульсное представление;
- •§18. Стационарные состояния гармонического осциллятора. Координатное, импульсное и матричное представления.
- •1). Координатное представление.
- •2). Импульсное представление.
- •3). Матричное представление.
- •Глава VII. Квантовая теория момента.
- •§ 19. Общие свойства и особенности квантового момента.
- •§ 20. Собственные значения и собственные векторы проекции и квадрата момента.
- •§ 21. Орбитальный и спиновый моменты. Спин как внутренняя степень свободы.
- •§ 22. Спин электрона. Матрицы Паули и их свойства.
- •§ 23. Сложение квантовых моментов.
- •§ 24. Уравнение Паули. Собственный магнитный момент электрона.
- •§ 25. Спин электрона и релятивистская теория. Уравнение Дирака.
- •Глава VIII. Движение квантовых частиц в сферически симметричном потенциале. Атом водорода.
- •§25. Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции.
- •§26. Движение электрона в кулоновском потенциале. Стационарное уравнение Шредингера для радиальной составляющей волновой функции. Асимптотика уравнения на малых и больших расстояниях.
- •§27. Спектр энергии. Радиальные волновые функции. Полиномы Лаггера.
- •§28. Сферические гармоники и их свойства.
- •28.1 Шаровые функции.
- •28.2 Свойства сферических гармоник и их явные выражения.
- •28.3 Закон сохранения чётности.
- •Глава VIII. Преобразования симметрии
- •§ 8.1. Необходимые и достаточные признаки симметрии
- •§ 8.2. Микроскопическая обратимость во времени в квантовой механике
- •§ 8.3. Бесконечно малые преобразования симметрии. Законы сохранения в квантовой механике
- •§ 8.4. Трансляционная симметрия кристаллических тел. Функции Блоха
§18. Стационарные состояния гармонического осциллятора. Координатное, импульсное и матричное представления.
Проанализируем особенности стационарных состояний гармонического осциллятора в различных представлениях.
1). Координатное представление.
Для нахождения стационарных состояний гармонического осциллятора воспользуемся стационарным уравнением Шредингера:
.
Введём безразмерные переменные и . Откуда, согласно (17.6):
. (18.1)
Используя равенство (17.19), найдём , а затем :
Аналогично:
(18.2)
Определим вид собственной функции , для чего воспользуемся соотношением:
(18.3)
Постоянную C найдём из условия нормировки:
Откуда
и согласно выражению (18.3)
. (18.4)
Воспользуемся соотношением (18.1) для нахождения вектора :
т.е.
(18.5)
где - полином Чебышева-Эрмита:
(18.6)
или в развёрнутом виде:
(18.6`)
Из последних соотношений очевидно, что состояния гармонического осциллятора могут быть как чётными, так и нечётными.
2). Импульсное представление.
По аналогии с выше рассмотренным представлением, определяя операторы и следующим образом:
,
, (18.7)
получим следующие выражения для волновых функций стационарных состояний гармонического осциллятора в импульсном представлении:
(18.8)
3). Матричное представление.
Согласно (17.4) и (17.10):
. (18.9)
Найдём матричные элементы оператора .
Откуда,
.
Найдём минимальное n: n-1=0, n=1.
Таким образом, матрица оператора b примет вид:
(18.10)
Матрица получится путём транспонирования, т.е. путём замены строчек на столбцы:
(18.11)
Подставляя (18.10) и (18.11) в (18.9) находим вид оператора координаты в матричном представлении:
(18.12)
Аналогично, используя соотношения (17.3), (17.11), можно получить вид оператора импульса в матричном представлении.
Глава VII. Квантовая теория момента.
Наряду с энергией и импульсом момент количества движения относится к фундаментальным физическим величинам, связанным с наиболее общими свойствами пространства-времени. Из однородности пространства-времени следует сохранение энергии-импульса для замкнутой системы. Изотропность пространства (симметрия относительно вращения) приводит к сохранению момента количества движения.
В квантовой механике моменту количества движения отводится особое место в силу его специфических квантовых свойств.
§ 19. Общие свойства и особенности квантового момента.
При построении квантовой теории момента количества движения воспользуемся принципом соответствия, согласно которому каждой физической величине ставится в соответствие линейный эрмитов оператор
Следовательно, соотношения между физическими величинами в классической теории должны перейти в соотношения между операторами физических величин в квантовой механике. В частности, классическим скобкам Пуассона
(19.1)
ставится в соответствие квантовые скобки :
(19.2)
Это своеобразное применение принципа соответствия между классической и квантовой механиками оказалось очень плодотворным.
Учитывая выражение момента импульса
,
с помощью (19.1) можно получить следующие классические соотношения:
Откуда, согласно принципу соответствия, сопоставив классическим скобкам Пуассона квантовые, получаем следующие соотношения для квантово-механического момента импульса
т.е. согласно (19.2)
(19.3)
(19.4)
Из соотношений (19.3) и (19.4) следует, что одновременно измеримыми величинами являются квадрат момента и одна из его проекций. В качестве последней примем :
.
Геометрически это можно представить с помощью так называемого «конуса состояния» (рис. 1).
Рис. 1. «Конус состояния». Одновременно точные значения могут иметь лишь величины и .