- •Министерство общего и профессионального образования
- •Учебное пособие
- •Предисловие.
- •Глава I. Фундаментальные идеи квантовой механики
- •§1. Идея о дискретности значений физических величин
- •1.1. Классическая теория равновесного излучения
- •1.2. Гипотеза Планка. Формула Планка. Фундаментальная постоянная Планка.
- •§2. Корпускулярно-волновой дуализм.
- •2.1. Квантовая теория света Эйнштейна.
- •2.2. Гипотеза де Бройля. Волна де Бройля.
- •2.3. Соотношение неопределенностей. Волновой дуализм.
- •§3. Статистический характер квантовых закономерностей.
- •3.1. Вероятностный характер поведения микрообъектов.
- •3.2. Статистический характер квантовой механики.
- •3.3. Статистическая интерпретация волновой функции.
- •3.4. Интерференция электронов от двух щелей.
- •Глава II. Математический аппарат и аксиоматика квантовой механики.
- •§ 4. Математический аппарат квантовой механики.
- •4.1. Векторы в линейном векторном пространстве.
- •4.2. Операторы в линейном векторном пространстве.
- •В) Собственные векторы и собственные значения самосопряжённых операторов.
- •§5. Принципы и постулаты квантовой механики.
- •1. Принцип соответствия.
- •2. Определение состояния квантовой системы.
- •4.Постулат квантования.
- •5.1. Принцип соответствия.
- •5.2. Определение состояния квантовой системы.
- •Принцип суперпозиции состояний.
- •Постулат квантования.
- •Правила квантования.
- •5.6. Вычисление средних значений физических величин.
- •5.7. Принцип тождественности (неразличимости) одинаковых частиц.
- •Глава 3. Основы теории представлений
- •§6. Координатное представление
- •6.1. Векторы состояния в координатном представлении
- •6.2. Операторы физических величин в координатном представлении
- •Операторы кинетической энергии, момента импульса, функции Гамильтона, энергии в координатном представлении.
- •6.3. Средние значения физических величин в координатном представлении
- •§7. Импульсное представление
- •7.1. Векторы состояния и операторы физических величин в импульсном представлении
- •§8. Матричное представление.
- •8.1. Векторы состояния в матричном представлении
- •8.2. Операторы физических величин в матричном представлении
- •8.3. Средние значения физических величин и матрицы плотности
- •Глава IV. Одновременная измеримость физических величин. Соотношения неопределенностей Гейзенберга.
- •§ 9. Одновременная измеримость физических величин.
- •9.1. О возможности одновременно точного определения динамических переменных (наблюдаемых).
- •9.2. Условие возможности одновременного измерения двух физических величин.
- •§ 10. Полный набор физических величин. Перестановочные соотношения Гейзенберга.
- •§ 11. Вывод соотношений неопределенностей для координат и канонически сопряженных импульсов.
- •§ 12. Соотношения неопределенностей для произвольных
- •Глава V. Квантовая динамика. Эволюция квантовых систем во времени
- •§13. Эволюция квантовой системы во времени: уравнение Гейзенберга
- •§14. Шредингеровская картина движения. Волновое уравнение Шредингера
- •§15. Уравнение фон Неймана. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени.
- •15.1. Уравнение фон Неймана для матрицы плотности.
- •15.2. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени
- •15.3. Принцип причинности
- •§16. Следствия из квантовых уравнений движения.
- •16.1. Стационарные состояния в квантовой механике.
- •16.2. Законы сохранения (интегралы движения) в квантовой механике
- •Закон сохранения энергии.
- •Закон сохранения импульса.
- •Закон сохранения момента импульса.
- •Глава VI. Квантовая теория гармонических колебаний и волн.
- •1) Квантовая электродинамика.
- •2) Квантовая теория колебаний кристаллической решётки.
- •3) Квантовая теория колебаний атомов в молекуле.
- •4) Частица в потенциальной яме.
- •§17. Спектр значений энергии гармонического осциллятора.
- •Координатное представление;
- •Импульсное представление;
- •§18. Стационарные состояния гармонического осциллятора. Координатное, импульсное и матричное представления.
- •1). Координатное представление.
- •2). Импульсное представление.
- •3). Матричное представление.
- •Глава VII. Квантовая теория момента.
- •§ 19. Общие свойства и особенности квантового момента.
- •§ 20. Собственные значения и собственные векторы проекции и квадрата момента.
- •§ 21. Орбитальный и спиновый моменты. Спин как внутренняя степень свободы.
- •§ 22. Спин электрона. Матрицы Паули и их свойства.
- •§ 23. Сложение квантовых моментов.
- •§ 24. Уравнение Паули. Собственный магнитный момент электрона.
- •§ 25. Спин электрона и релятивистская теория. Уравнение Дирака.
- •Глава VIII. Движение квантовых частиц в сферически симметричном потенциале. Атом водорода.
- •§25. Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции.
- •§26. Движение электрона в кулоновском потенциале. Стационарное уравнение Шредингера для радиальной составляющей волновой функции. Асимптотика уравнения на малых и больших расстояниях.
- •§27. Спектр энергии. Радиальные волновые функции. Полиномы Лаггера.
- •§28. Сферические гармоники и их свойства.
- •28.1 Шаровые функции.
- •28.2 Свойства сферических гармоник и их явные выражения.
- •28.3 Закон сохранения чётности.
- •Глава VIII. Преобразования симметрии
- •§ 8.1. Необходимые и достаточные признаки симметрии
- •§ 8.2. Микроскопическая обратимость во времени в квантовой механике
- •§ 8.3. Бесконечно малые преобразования симметрии. Законы сохранения в квантовой механике
- •§ 8.4. Трансляционная симметрия кристаллических тел. Функции Блоха
8.3. Средние значения физических величин и матрицы плотности
Если состояние квантовой системы описывается вектором , то его можно записать в произвольном «A – представлении». Для этого следует разложить в ряд по собственным векторам оператора :
.
Тогда среднее значение некоторой физической величины в состоянии представится в виде:
, (8.17)
где - матричный элемент оператора в «A – представлении».
Обозначим
, (8.18)
где - матричный элемент некоторого оператора . Матрица оператора является также эрмитовой и называется матрицей плотности. Согласно определению матричного элемента оператора
, (8.19)
причем диагональные элементы матрицы плотности определяют вероятности (или плотности вероятностей) измерения какой-либо физической величины.
Очевидно, сумма диагональных элементов матрицы плотности равна единице:
, (8.20)
где знак - «шпур» – означает сумму диагональных элементов матрицы.
Тогда формула для среднего значения физической величины в состоянии примет вид:
,
т.е.
. (8.21)
Таким образом, матрица плотности есть оператор, с помощью которого вычисляется среднее значение любой физической величины. Описание состояний систем с помощью матрицы плотности является наиболее общей формой квантовомеханического рассмотрения. Даже смешанные состояния квантовомеханических систем описываются матрицей плотности.
Глава IV. Одновременная измеримость физических величин. Соотношения неопределенностей Гейзенберга.
§ 9. Одновременная измеримость физических величин.
9.1. О возможности одновременно точного определения динамических переменных (наблюдаемых).
В классической механике частицу в каждый момент времени характеризуют определенными значениями координат и проекциями импульсов.
В квантовой же механике дело обстоит иным образом. Для этого рассмотрим одномерное движение частицы вдоль оси OX с заданным импульсом , состояние которой описывается в координатном представлении волновой функцией (6.17):
.
Вероятность измерения координаты в этом состоянии определяется плотностью вероятности . Таким образом, все значения координаты у частицы в этом состоянии оказываются равновероятными.
Если же иметь состояние с определенным значением координаты , которое описывается волновой функцией в импульсном представлении (7.11):
,
то в этом случае равновероятными оказываются все значения импульса : Из приведенных примеров следует, что в квантовой области не существует таких состояний частиц, в которых импульс и сопряженная ему координата одновременно имели бы определенные значения. В таком же взаимоисключающем положении находятся и многие другие величины.
Таким образом, в квантовой механике некоторые физические величины не могут иметь определенных значений в одном и том же состоянии системы, т.е. эти величины не могут быть одновременно измеримы. В связи с этим необходимо вывести условие одновременной измеримости физических величин.
Согласно четвертому постулату квантовой механики каждой физической величине сопоставляется линейный эрмитов оператор : . Динамическая переменная имеет в состоянии определенное значение, если вектор состояния совпадает с одним из собственных векторов оператора , т.е. если , то физическая величина в этом состоянии имеет значение .
Пусть собственный вектор оператора является одновременно собственным вектором и оператора , тогда этот вектор удобно записать в виде , т.к.
(9.1)
Такой вектор состояния называется общим собственным вектором операторов и и описывает такое состояние, в котором функции величин А и В имеют определенное значение. Если система общих собственных векторов операторов и является полной, тогда любой вектор состояния можно представить в виде суперпозиции:
,
где квадраты коэффициентов разложения определяют вероятность получения определенных значений и при измерении физических величин и . В этом случае говорят, что физические величины и в принципе одновременно измеримы, что реализуется в случае, когда вектор состояния совпадает с одним из собственных векторов . Следовательно, динамические переменные и одновременно измеримы, если их операторы и имеют общую полную систему собственных векторов.