- •Министерство общего и профессионального образования
- •Учебное пособие
- •Предисловие.
- •Глава I. Фундаментальные идеи квантовой механики
- •§1. Идея о дискретности значений физических величин
- •1.1. Классическая теория равновесного излучения
- •1.2. Гипотеза Планка. Формула Планка. Фундаментальная постоянная Планка.
- •§2. Корпускулярно-волновой дуализм.
- •2.1. Квантовая теория света Эйнштейна.
- •2.2. Гипотеза де Бройля. Волна де Бройля.
- •2.3. Соотношение неопределенностей. Волновой дуализм.
- •§3. Статистический характер квантовых закономерностей.
- •3.1. Вероятностный характер поведения микрообъектов.
- •3.2. Статистический характер квантовой механики.
- •3.3. Статистическая интерпретация волновой функции.
- •3.4. Интерференция электронов от двух щелей.
- •Глава II. Математический аппарат и аксиоматика квантовой механики.
- •§ 4. Математический аппарат квантовой механики.
- •4.1. Векторы в линейном векторном пространстве.
- •4.2. Операторы в линейном векторном пространстве.
- •В) Собственные векторы и собственные значения самосопряжённых операторов.
- •§5. Принципы и постулаты квантовой механики.
- •1. Принцип соответствия.
- •2. Определение состояния квантовой системы.
- •4.Постулат квантования.
- •5.1. Принцип соответствия.
- •5.2. Определение состояния квантовой системы.
- •Принцип суперпозиции состояний.
- •Постулат квантования.
- •Правила квантования.
- •5.6. Вычисление средних значений физических величин.
- •5.7. Принцип тождественности (неразличимости) одинаковых частиц.
- •Глава 3. Основы теории представлений
- •§6. Координатное представление
- •6.1. Векторы состояния в координатном представлении
- •6.2. Операторы физических величин в координатном представлении
- •Операторы кинетической энергии, момента импульса, функции Гамильтона, энергии в координатном представлении.
- •6.3. Средние значения физических величин в координатном представлении
- •§7. Импульсное представление
- •7.1. Векторы состояния и операторы физических величин в импульсном представлении
- •§8. Матричное представление.
- •8.1. Векторы состояния в матричном представлении
- •8.2. Операторы физических величин в матричном представлении
- •8.3. Средние значения физических величин и матрицы плотности
- •Глава IV. Одновременная измеримость физических величин. Соотношения неопределенностей Гейзенберга.
- •§ 9. Одновременная измеримость физических величин.
- •9.1. О возможности одновременно точного определения динамических переменных (наблюдаемых).
- •9.2. Условие возможности одновременного измерения двух физических величин.
- •§ 10. Полный набор физических величин. Перестановочные соотношения Гейзенберга.
- •§ 11. Вывод соотношений неопределенностей для координат и канонически сопряженных импульсов.
- •§ 12. Соотношения неопределенностей для произвольных
- •Глава V. Квантовая динамика. Эволюция квантовых систем во времени
- •§13. Эволюция квантовой системы во времени: уравнение Гейзенберга
- •§14. Шредингеровская картина движения. Волновое уравнение Шредингера
- •§15. Уравнение фон Неймана. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени.
- •15.1. Уравнение фон Неймана для матрицы плотности.
- •15.2. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени
- •15.3. Принцип причинности
- •§16. Следствия из квантовых уравнений движения.
- •16.1. Стационарные состояния в квантовой механике.
- •16.2. Законы сохранения (интегралы движения) в квантовой механике
- •Закон сохранения энергии.
- •Закон сохранения импульса.
- •Закон сохранения момента импульса.
- •Глава VI. Квантовая теория гармонических колебаний и волн.
- •1) Квантовая электродинамика.
- •2) Квантовая теория колебаний кристаллической решётки.
- •3) Квантовая теория колебаний атомов в молекуле.
- •4) Частица в потенциальной яме.
- •§17. Спектр значений энергии гармонического осциллятора.
- •Координатное представление;
- •Импульсное представление;
- •§18. Стационарные состояния гармонического осциллятора. Координатное, импульсное и матричное представления.
- •1). Координатное представление.
- •2). Импульсное представление.
- •3). Матричное представление.
- •Глава VII. Квантовая теория момента.
- •§ 19. Общие свойства и особенности квантового момента.
- •§ 20. Собственные значения и собственные векторы проекции и квадрата момента.
- •§ 21. Орбитальный и спиновый моменты. Спин как внутренняя степень свободы.
- •§ 22. Спин электрона. Матрицы Паули и их свойства.
- •§ 23. Сложение квантовых моментов.
- •§ 24. Уравнение Паули. Собственный магнитный момент электрона.
- •§ 25. Спин электрона и релятивистская теория. Уравнение Дирака.
- •Глава VIII. Движение квантовых частиц в сферически симметричном потенциале. Атом водорода.
- •§25. Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции.
- •§26. Движение электрона в кулоновском потенциале. Стационарное уравнение Шредингера для радиальной составляющей волновой функции. Асимптотика уравнения на малых и больших расстояниях.
- •§27. Спектр энергии. Радиальные волновые функции. Полиномы Лаггера.
- •§28. Сферические гармоники и их свойства.
- •28.1 Шаровые функции.
- •28.2 Свойства сферических гармоник и их явные выражения.
- •28.3 Закон сохранения чётности.
- •Глава VIII. Преобразования симметрии
- •§ 8.1. Необходимые и достаточные признаки симметрии
- •§ 8.2. Микроскопическая обратимость во времени в квантовой механике
- •§ 8.3. Бесконечно малые преобразования симметрии. Законы сохранения в квантовой механике
- •§ 8.4. Трансляционная симметрия кристаллических тел. Функции Блоха
Глава VIII. Движение квантовых частиц в сферически симметричном потенциале. Атом водорода.
§25. Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции.
Рассмотрим квантовые системы, обладающие сферической симметрией. К данному классу относятся наиболее часто встречающиеся задачи квантовой физики:
задачи по определению уровней энергии связанных состояний атомов, ионов и других атомоподобных систем;
задачи о рассеянии квантовых частиц.
Квантовая система в нерелятивистском приближении будет обладать сферической симметрией, если может быть выбрана система координат, в которой гамильтониан не меняется при вращении.
Для наглядности рассмотрим частный случай – отдельную частицу в сферически симметричном потенциале без учёта спина s. Гамильтониан частицы имеет вид:
(25.1)
В случае сферически-симметричного поля, когда потенциал поля зависит только от (а не от и ), вращение относительно любой оси оставляет неизменным гамильтониан . Отсюда следует и сохранение момента количества движения и всех его проекций. Таким образом, являются интегралами движения.
(25.2)
Из соотношений (25.2) следует, что величины - одновременно измеримы, т.е. составляют полный набор величин, задание которого определяет состояние квантовой системы. Иначе говоря, состояние квантовой системы однозначно задаётся квантовыми числами .
Согласно рассмотренной выше теореме, если операторы коммутируют, то они имеют общую полную систему собственных функций. Общие собственные функции операторов одновременно удовлетворяют уравнениям:
, . (25.3)
, (25.4)
. (25.5)
Для нахождения спектра значений энергии , определяемого уравнением (25.3), следует отыскать функции, которые являются одновременно собственными функциями операторов и . Для определения спектра значений энергии квантовой частицы в сферическом потенциале будем искать решение (25.3) в виде:
, (25.6)
Где -радиальная, а - сферическая (шаровая) волновые функции. Так как и зависят только от угловых переменных и , то функции удовлетворяют уравнениям:
, (25.7)
. (25.8)
Подставляя (25.1) и (25.6) в (25.3) получим следующее радиальное уравнение Шредингера для квантовой частицы в сферически-симметричном потенциале:
.
Выразим гамильтониан системы в сферической системе координат. Поскольку , то для этого достаточно выразить оператор Лапласа в сферической системе координат. Мы же воспользуемся для этого принципом соответствия. Для этого запишем функцию Гамильтона в сферической системе координат, а затем перейдём к операторному равенству.
.
Используя формулу получим:
,
где
.
Откуда .
Таким образом, в сферической системе координат выглядит следующим образом:
.
Откуда по принципу соответствия оператор Гамильтона имеет вид:
,
Или
(25.9)
Используя явный вид оператора в сферической системе координат (25.9) и подставляя решение в виде (25.6) получим стационарное уравнение Шредингера:
. (25.10)