4. Постулат квантования.

Четвёртый постулат – постулат квантования – утверждает: каждой физической величине А в квантовой механике сопоставляется линейный самосопряжённый (эрмитов) оператор Â, действующий в гильбертовом пространстве. Единственно возможным результатом измерений этой величины А являются собственные значения сопоставляемого ей оператора Â.

Линейность операторов физических величин обусловлена принципом суперпозиции. Эрмитовость же операторов обеспечивает вещественность предсказанных квантовой теорией результатов измерений физических величин, т.к. лишь у самосопряжённых операторов собственные значения вещественны (4.36): a_n=a_n*.

Спектр собственных значений эрмитова оператора Â, определяемый уравнением для собственных векторов и собственных значений (4.35), может быть дискретным, непрерывным или смешанным (§4, п.2). Случай дискретного спектра собственных значений оператора Â соответствует квантованию физической величины А:

Â_n = a_n_n, (5.4)

т.е. (a₁, a₂,…,a_n,…), чем и обусловлено название постулата. Согласно этому постулату, если вектор состояния  системы совпадает с одним из собственных векторов, ₁ например, оператора, то при измерениях физической величины получаются вполне определённые значения а_1. Если же вектор состояния  не совпадает ни с одним из собственных векторов _n оператора Â, то результат измерения физической величины А оказывается неоднозначным, т.е. при измерениях получаются различные значения, но всегда совпадающие с собственными значениями (a₁, a₂,…,a_n,…) оператора.

В случае непрерывного спектра собственных значений эрмитова оператора , сопоставляемого физической величине В квантовой системы, при измерении будут получаться числа, совпадающие с собственными значениями b соответствующего оператора:

(5.4)

Это соответствует непрерывному изменению физической величины. Примером таких величин являются координаты, проекции импульсов и т.д.

4. Правила квантования.

Дла квантовомеханической системы результата измерения физической величины А, изображающейся эрмитовым оператором Â, в общем случае неоднозначен. Квантовая механика, как статистическая теория, должна предсказывать не только значения результатов измерения физической величины А, но и вероятности w_n возможных значений а_n этой величины в состоянии системы, которое описывается  вектором гильбертова пространства. Эти вероятности w_n и определяются пятым постулатом. Согласно четвертому : φ₁ а₁ ; φ₂ а₂ , т.к. φ₁ и φ₂ – возможные состояния , тогда согласно третьему: Ψ = с₁φ₁ + с₂φ₂ – возможное состояние системы и вероятности w₁ = | с₁ | и w₂ = | с₂ | .

Пятый постулат – правила квантования – гласит: для системы, находящейся в состоянии Ψ , вероятность W_к получить при измерении физической величины А значение а_n равна квадрату модуля соответствующего коэффициента Фурье – разложения вектора Ψ по собственным векторам φ_n оператора Â, изображающего эту физическую величину:

W_n = | (φ_n , Ψ) | = | c_n | (5.5)

При непрерывном спектре собственных значений оператора Â квадрат модуля коэффициента Фурье–разложения | (φ_а , Ψ) | следует рассматривать как плотность вероятности.

В качестве примера рассмотрим результаты измерения величины А в состоянии квантовомеханической системы, когда Ψ = φ₁, где φ₁ – собственный вектор оператора Â, определяемый уравнением Âφ_n = а_nφ_n. В этом случае вероятность W₁ измерения значения а₁ равна 1, т.к. с₁ = (φ₁, φ₁) = 1, все же другие коэффициенты в разложении Ψ= с₁φ₁ + …с_nφ_n +…= равны нулю: ( φ_n , φ₁ ) = 0 при n ≠ 1 в силу ортогональности собственных векторов эрмитовых операторов. Значит, полученные результаты можно записать в виде:

W_n =

Если же вектор состояния Ψ системы не совпадает ни с одним из собственных векторов φ_n оператора Â, то используя разложение Ψ в ряд Фурье по полной системе ортонормированных собственных векторов φ_n ( 4.42) и вычисляя коэффициенты с_n разложения по формуле (4.43), на основе четвертого постулата запишем:

, (5.7)

Очевидно, что

(5.8)

что легко доказать, учитывая, что норма вектора  равна единице:

Из рассмотренных примеров следует, что пятый постулат, определяющий вероятности W_n измерения тех или иных дозволенных значений физической величины, вполне логично назвать правилами квантования.