4.2. Нелінійні однофакторні моделі регресії

Крім лінійних рівнянь регресії можуть бути і нелінійні відносно незалежної зміїнної рівняння регресії. Знаходження коефіцієнтів таких рівнянь методом найменших квадратів має деякі особливості.

Гіперболічне рівняння регресії

При зворотному зв'язку випадкових величин і за рівняння регресії приймається рівняння гіперболи

, (4.11)

де , – визначаються методом найменших квадратів.

Система нормальних рівнянь при цьому буде мати вигляд

(4.12)

Для нелінійних рівнянь регресії тіснота кореляційного зв’язку визначається за допомогою кореляційного відношення за формулою

, (4.13)

де – вибіркова дисперсія показника, – середнє значення показника. Кореляційне відношення має властивості, аналогічні властивостям коефіцієнта кореляції.

Приклад 4.2. За даними таблиці 4.4 знайти рівняння регресії у вигляді гіперболи (4.11) для наведених показників.

Таблиця 4.4 – Вихідні дані приклада 4.2

вартість основних фондів, млн.грн.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Собівартість продукції, грн.	21	16	15	14	13	12,5	11	11,5	10	12

Розв’язок: Необхідні обчислення проведемо в розрахунковій таблиці 4.5.

Таблиця 4.5 – Допоміжна розрахункова таблиця

1	21	1	1	21	21,43	0,19	0,02
2	16	0,5	0,25	8	15,9	0,01	0,01
3	15	0,33	0,11	5	14,05	0,9	0,06
4	14	0,25	0,06	3,5	13,3	0,49	0,06
5	13	0,2	0,04	2,6	12,57	0,19	0,03
6	12,5	0,17	0,03	2,08	12,21	0,08	0,02
7	11	0,14	0,02	1,57	11,94	0,88	0,09
8	11,5	0,13	0,02	1,44	11,74	0,06	0,02
9	10	0,11	0,01	1,11	11,59	2,53	0,16
10	12	0,1	0,01	1,2	11,47	0,28	0,04
	136	2,93	1,55	47,5	136,02	5,61	0,51

Система нормальних рівняь (4.12) має вигляд . Розв’язуючи її, обчислимо наступні оцінки параметрів: і . Таким чином, рівняння регресії має вигляд

. (4.14)

Оцінка точности рівняння гіперболи складає , що вказує на дуже високу адекватність знайденого рівняння регресії (4.14).

Залишкова дисперсія, розрахована за формулою (4.8) дорівнює .

Для даного прикладу . Тоді дисперсія показника складе .

Кореляційне відношення вказує на дуже тісний кореляційний зв'язок між та .

Адекватність моделі визначимо з допомогою критерію Фішера за формулою (4.9): . Критичне значення критерію Фішера дорівнює . В силу виконання нерівності гіперболічна модель (4.14) адекватно описує залежність між собівартістю продукції та вартістю основних фондів підприємства.