- •Оглавление
- •Глава 1. Комплексные числа
- •1.1. Из истории возникновения
- •1.2. Определение комплексного числа
- •1.3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
- •Пример.
- •1.4. Свойства операций сложения и умножения
- •1.5. Свойства операции сопряжения
- •1.6. Геометрическая интерпретация комплексного числа
- •Пример. Изобразить на плоскости числа:
- •1.7. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •1.8. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
- •1.9. Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме
- •1.10. Свойства модуля комплексного числа
- •1.11. Извлечение корня из комплексного числа
- •1.12. Показательная форма комплексного числа
- •Пример. Записать число в показательной форме.
- •Упражнения
- •Глава 2. Системы линейных уравнений
- •2.1. Общие сведения о системах линейных уравнений
- •2.2. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)
- •2.3. Исследование системы линейных уравнений
- •2.4. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Определение и свойства
- •2.5. Линейная зависимость и линейная независимость конечной системы векторов
- •2.6. Ранг и базис конечной системы векторов
- •2.7. Ранг матрицы
- •2.8. Некоторые применения ранга матрицы
- •2.9. Особенная и неособенная матрицы
- •2.10. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений
- •Упражнения
- •Глава 3. Алгебра матриц
- •3.1. Операции над матрицами
- •3.2. Обратная матрица
- •3.3. Матричный способ решения систем линейных уравнений
- •Упражнения
- •Глава 4. Определители
- •4.1. Определители 2-го, 3-го порядков
- •4.2. Определители n-го порядка
- •4.3. Разложение определителя по строке (столбцу)
- •4.4. Применение определителей. Правило Крамера
- •4.5. Вычисление обратной матрицы
- •4.6. Вычисление ранга матрицы
- •4.7. Теорема Бине-Коши
- •4.8. Теорема Лапласа
- •Упражнения
- •Варианты контрольных заданий
- •Литература
2.3. Исследование системы линейных уравнений
Рассмотрим ступенчатую систему (2.3). Возможны следующие случаи:
Если найдется , где , то система (2.3) несовместна.
Если , , то система (2.3) совместна, - главные неизвестные; остальные неизвестные – свободные.
Если в системе (2.3) содержится хотя бы одна свободная неизвестная, то система является неопределенной.
Если система (2.3) не содержит свободных неизвестных, то данная система является определенной.
2.4. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Определение и свойства
В связи с системами линейных уравнений нам приходилось рассматривать строки длины n, в которые вкладывался разный смысл. Приведение системы или матрицы к ступенчатому виду включало, помимо элементарного преобразования типа (I) два важных акта: умножение строки на число и сложение двух строк. Те же действия можно производить и с решениями однородной линейной системы. С другой стороны, любая строка, что бы она ни выражала, является элементом «универсального» множества Rn - n-й декартовой степени множества R действительных чисел. Поэтому желательно изучить общий объект, свойства которого автоматически переносились бы на матрицы и на решения однородных систем.
Определение. Упорядоченную совокупность, состоящую из n чисел будем называть n-мерным вектором.
- вектор-строка, вектор-столбец.
- координаты вектора .
Рассмотрим вектор .
Определение. Два вектора называются равными: , если равны их соответствующие координаты, т.е.
.
Введем операции:
1. Сложение векторов:
2. Умножение вектора на скаляр:
Определение. Множество всех n-мерных векторов с введенными операциями сложения и умножения на скаляр будем называть арифметическим n-мерным векторным пространством .
Свойства операций.
Сложение
10 - коммутативность
20 - ассоциативность
30 - обратимость
10 - 30 - коммутативная группа (или Абелева группа)
Умножение
40
60 и 70 - дистрибутивные законы
Все 7 свойств дают понятие векторного (линейного) пространства
2.5. Линейная зависимость и линейная независимость конечной системы векторов
Рассмотрим конечную систему векторов .
Определение. Вектор будем называть линейной комбинацией конечной системы векторов S, если существует такой набор скаляров , что . По-другому: вектор линейно выражается через вектора системы S.
Определение. Множество всех комбинаций конечной системы векторов S будем называть линейной оболочкой конечной системы векторов:
В линейной оболочке операции сложения и умножения на скаляр – замкнуты:
1)
2)
Определение. Конечную систему векторов будем называть линейно зависимой, если найдется такой ненулевой набор скаляров (т.е. хотя бы один скаляр отличен от нуля) , что выполняется равенство (*).
В противном случае, т.е. если равенство (*) выполняется только лишь при нулевом наборе скаляров, систему векторов будем называть линейно независимой.
Свойства
Всякая конечная система векторов, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой.
Доказательство.
Пусть . Докажем, что при ненулевом наборе скаляров . Пусть, например, , . Тогда
Нашелся такой ненулевой набор скаляров, что выполняется равенство (*). Свойство доказано.
Если подсистема конечной системы векторов линейно зависима, то сама система линейно зависима.
Доказательство.
Пусть , - линейно зависима. По определению, . Тогда
Нашелся ненулевой набор скаляров , следовательно, сама система S – линейно зависима.
Любая подсистема данной системы является линейно независимой, если сама система линейно независима.
Доказательство.
Проведем его методом от противного. Предположим, что - линейно зависима, тогда по 2 свойству S тоже линейно зависима. А это противоречит условию, значит наше предположение неверно и - линейно независима.
S – линейно зависима тогда и только тогда, когда существует вектор системы S, который линейно выражается через остальные векторы этой системы: .
Доказательство.
Пусть S – линейно зависима, т.е. , что выполняется равенство
Не ограничивая общности, будем считать, что . Тогда
- линейная комбинация остальных векторов.
Наоборот, пусть является линейной комбинацией остальных векторов: . Тогда - нашелся искомый ненулевой набор скаляров, т.е. система S является линейно зависимой.
S – линейно независима тогда и только тогда, когда
Любая конечная система векторов, содержащая число векторов больше чем n, является линейно зависимой.
Доказательство.
Составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем к .
Распишем по координатам:
k>n (число неизвестных больше числа уравнений), поэтому что выполняется равенство , т.е. система S является линейно зависимой.