1.2. Определение комплексного числа

Мы знакомы с действительными числами. Рассмотрим теперь числа нового вида.

Определение. Числа вида z=a+bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, удовлетворяющая условию: i²=-1 , будем называть комплексными.

Число a будем обозначать Rez и называть действительной частью комплексного числа z, bi – обозначать Imz и называть его мнимой частью, b – коэффициентом при мнимой части. Возможны случаи, когда действительные числа a и b могут быть равными нулю. Если a=0, то комплексное число bi называется чисто мнимым. Если b=0, то комплексное число a+bi равно a и называется действительным. Если a=0 и b=0 одновременно, то комплексное число 0+0i равно нулю. Итак, мы получили, что действительные числа и чисто мнимые числа представляют собой частные случаи комплексного числа.

Запись комплексного числа в виде a+bi называется алгебраической формой комплексного числа.

Определение. Два комплексных числа a+bi и c+di условимся считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е.

a+bi=c+di,  a=c и b=d

или

Пример. Найти x и y из равенства:

а) 3y+5xi=15-7i;

б) (2x+3y)+(x-y)i=7+6i.

Решение. а) Согласно условию равенства комплексных чисел имеем 3y=15, 5x=-7. Отсюда .

б) Из условия равенства комплексных чисел следует .

Умножив второе уравнение на 3 и сложив результат с первым уравнением, имеем 5x=25, т. е. x=5. Подставим это значение во второе уравнение: 5-y=6, откуда y=-1. Итак, получаем ответ: x=5, y=-1.

Определение. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Если z=a+bi, тогда сопряженное ему число будет записано в виде:

=a-bi.

Рассмотрим степени мнимой единицы:

i¹=i; i²=-1; i³=i²i=(–1)i=-i; i⁴=i³i =-ii =-i² =-(-1)=1; i⁵=i⁴i=1i=i;

Если выписать все значения степеней числа i, то мы получим такую последовательность: i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1 и т. д. Легко видеть, что значения степеней числа i повторяются с периодом, равным 4.

Более точно, если показатель степени числа i делится на 4, то значение степени равно 1; если при делении показателя степени на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i; если при делении показателя степени на 4 получается остаток 2, то значение степени равно -1; наконец, если при делении на 4 остаток равен 3, то значение степени равно -i. Пользуясь этим, можно вычислять любую степень числа i.

Пример. Найти: i²⁸; i³³; i¹³⁵.

Решение. Имеем 28=4·7 (нет остатка); 33=4·8+1; 135=4·33+3.

Соответственно получим i²⁸=1; i³³=i; i¹³⁵=-i.

1.3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Определение. Суммой (разностью) двух комплексных чисел z₁=a₁+b₁i и z₂=a₂+b₂i, где a₁,a₂,b₁,b₂R, называют комплексное число, действительная и мнимая часть которого соответственно равны сумме (разностей) действительной и мнимой частей слагаемых.

z₁ z₂=(a₁+b₁i) (a₂+b₂i)=(a₁ a₂)+(b₁ b₂)i

Определение. Произведением двух комплексных чисел z₁=a₁+b₁i и z₂=a₂+b₂i, где a₁,a₂,b₁,b₂ R, называют следующее комплексное число:

z₁z₂=(a₁+b₁i)(a₂+b₂i)=(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i

Определение. Частным комплексных чисел z₁ и z₂ будем называть комплексное число z₃ такое, что z₁=z₂z₃:

z₃= , если z₁=z₂z₃.

Пусть z₁=a₁+b₁i, z₂=a₂+b₂i. Для вычисления их частного z₃= воспользуемся основным свойством дроби:

и окончательно:

Определение. zⁿ=zz…z (n раз, nN).

Определение. Квадратным корнем из комплексного числа называют число: =W, такое что W²=z.