Пример. Записать число в показательной форме.

Решение. Здесь

Следовательно, показательная форма числа имеет вид .

1.13. Другие арифметики для чисел а+bi

Постановка задачи. Итак, мы построили числовую систему из выражений вида a+bi, определив сложение и умножение таких выражений по формулам

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)I	(1)
(а+bi)(с+di)=(ас-bd)+(ad+bс)	(2)

Что касается формулы (1), то она представляется вполне естественно. Напротив, вид формулы (2) не вызывает такого ощущения. Посмотрим, нельзя ли из тех же выражений а+bi получить достаточно разумную числовую систему, сохранив правило сложения (1), но заменив (2) каким-либо новым законом умножения. Как мог бы выглядеть этот новый закон? В значительной мере это зависит от того, какими свойствами мы хотим наделить новое умножение. Скажем, было бы нелепо ввести его формулой (a+bi)(c+di)=ac²+bdi, ибо тогда, например, при b=0, d=0 мы получили бы довольно странное равенство ас=ас².

Укажем те требования, которые мы собираемся предъявить к новому умножению:

1) Умножение действительного числа а, рассматриваемого как элемент новой числовой системы (а=а+0i), на произвольное число z=b+ci должно давать тот же результат, что и в случае комплексных чисел, т. е

(а+0i)(b+ci)=ab+aci

и

(b+ci)(a+0i)=ab+aci.

В частности, это означает, что для действительных чисел новое умножение должно совпадать с обычным:

(а+0i)(b+0i)=ab+0i.

Поскольку то же самое верно и в отношении сложения (из (1) следует (a+0i)+(b+0i)=(a+b)+0i), то, тем самым действительные числа включаются в новую числовую систему с их естественной арифметикой.

2) Должно выполняться равенство

(az_l)(bz₂)=(ab)(z₁ z₂),

где а и b - любые действительные числа. Например, (2i)(3i)=6i².

3) Как для первого сомножителя, так и для второго должно выполняться свойство распределительности, связывающее умножение со сложением:

z_l(z₂+z₃)=z_lz₂+z_lz₃

и

(z_l+z₂)z₃=z_lz₃+z₂z₃.

Конечно, эти требования еще не позволяют написать до конца новый закон умножения, но все же из них следует многое. А именно,

(а+bi)(с+di)=а(с+di)+(bi)(с+di)=ас+adi+bci+bdi².

Теперь, чтобы написать результат, остается только указать, чему равно i². Приняв i²=-1, приходим к умножению комплексных чисел. Но это — отнюдь не единственная возможность. В принципе ведь нужно лишь, чтобы произведение ii принадлежало рассматриваемой нами системе чисел, т. е. было числом вида р+qi. Задав р и q, мы окончательно устанавливаем вид закона умножения:

(a+bi)(c+di)=(ac+bdp)+(ad+bc+bdq)i.

(3)

Предмет нашего изучения, таким образом, определился. Теперь можно забыть о «наводящих» соображениях, которые привели нас к формуле (3), и просто сказать, что рассматривается система чисел вида а+bi с законом сложения (1) и законом умножения (3), где р и q — два фиксированных действительных числа (определяющих собой, так сказать, «арифметику» данной системы чисел).

Внимательно рассмотрев формулу (3), мы довольно легко убеждаемся, что новое умножение обладает переместительным свойством:

z₁z₂=z₂z₁

— довольно неожиданный результат, если учесть, что среди требований, предъявленных к умножению, такого свойства не было! Выполняется и сочетательное свойство ((z₁z₂)z₃=z₁(z₂z₃)), хотя проверка этого факта требует несколько большего терпения. Имеем

[(a+bi)(c+di)](e+fi)=[(ас+bdp)+(ad+bc+bdp)i](е+fi)=((ac+bdp)e+(ad+ +bc+bdp)fp)+((ас+bdp)f+(ad+bc+bdq)e+(ad+bc+bdq)fq)i,

(a+bi)[(c+di)(e+fi)]=(a+bi)[(ce+dfp)+(cf+de+dfq)i]=(a(ce+dfp)+b(cf+ +de+dfq)p)+(a(cf+de+dfq)+b(ce+dfp)+b(cf+de+dfq)q)i.

сравнивая результаты обоих вычислений, легко убедиться в их тождественности.

Сведение к трем системам. Может показаться, что мы нашли бесчисленное множество числовых систем, поскольку в формулу (3) входят два произвольных действительных числа р и q. Но это не совсем так. Сейчас мы увидим, что любая система сводится к одной из трех:

1. числа a+bi, где i²=-1. (комплексные числа);

2. числа a+bi, где i²=1 (так называемые двойные числа);

3. числа а+bi, где i²=0 (так называемые дуальные числа).

Сведение любого, случая к одному из этих трех осуществляется следующим образом.

Из равенства i²=p+qi вытекает i²-qi=р или:

(i-q/2)2=p+q4/4

(4)

Возможны три случая:

1. p+q²/4 – отрицательное число, т.е. p+q²/4=-k², где k – некоторое отличное от нуля действительное число. Тогда (i-q/2)²=-k², т.е.

(-q/2k+(1/k)i)2=-1

(5)

Обозначив число, стоящее в скобках, через j, будем иметь j²=-1

При этом i=q/2+kj, так что любое число a+bi может быть записано в виде:

a+bi=a+b(q/2+kj)=(a+(b/2)q)+bkj;

иначе говоря, число a+bi допускает представление в виде a'+b'j, где j²=-1. Это означает, что фактически мы имеем дело с комплексными числами.

2) p+q²/4—положительное число, т, е. p+q²/4=k² (k0).

Тогда вместо (5) получим

Обозначив на этот раз число, стоящее в скобках, через Е, будем иметь E²=1.

Таким образом, любое число а+bi нашей системы допускает представление в виде а'+b'Е, но теперь Е²=1. Закон умножения таких чисел будет

(а'+b'Е)(с'+d'E)=(a'c'+b'd')+(а'd'+b'с')Е

Итак, при p+q²/4 > 0 получаем систему двойных чисел.

3) p+q2/4=0. В этом случае, обозначив через  число i-q/2,будем иметь ²=0.

Любое число а+bi нашей системы может быть переписано в виде (а+(b/2)q)+b, т, е. в виде a₁+b₁. 3акон умножения выглядит так:

(a₁+b₁)(c₁+d₁)=a₁c₁+(a₁d₁+b₁c₁)

Это система дуальных чисел.

В итоге получаем, что любая система чисел a+bi с правилами действий (1) и (3) есть одна из трех:

1. комплексные числа a+bj, j²=-1

2. двойные числа a+bE, E²=1

3. дуальные числа a+b, ²=0.

Опыт построения системы комплексных (а также двойных и дуальных) чисел наводит на мысль пойти дальше и рассмотреть числа вида

z=a+bi+cj,

где а, b, с — произвольные действительные числа, а i и j - некоторые символы. Но из чисел вида а+bi+сj построить систему с делением невозможно. Однако оказывается, что если присоединить еще один символ k и рассмотреть числа вида

q=a+bi+cj+dk,

(6)

то можно получить систему с делением. Наиболее интересным примером такой системы являются кватернионы («четверные» числа). Так называются числа вида (6) с законом сложения

(а+bi+сj+dk)+(а'+b'i+с'j+d'k)=(a+а')+(b+b')i+(c+c')j+(d+d')k

и весьма своеобразным законом умножения. Чтобы описать этот закон, достаточно указать, чему равны всевозможные парные произведения чисел i, j, k. Положим, по определению,

i2=-1, j2=-1, k2=-1	(7)
ij=k, ji=-k, jk=i, kj=-i, ki=j,

Более подробно о кватернионах и других гиперкомплексных числах можно прочитать в книге [6].