Лабораторная работа № 3.

ФИЛЬТРЫ

Цель работы – освоение методики расчёта типовых фильтров, базовых для ци-фровой обработки сигналов, в спектральной и временной областях.

1. Методические указания

К типовым относятся фильтры нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосовые и режекторные фильтры [1,2]. Исходными для последующего изучения методов проектирования цифровых фильтров являются фильтры непрерывного времени. Обычно ограничиваются расчётом фильтров в частотной области. Весовая функция полосового фильтра (характеристика во временной области) представляет не меньший интерес, поэтому в данной работе рассчитываются и весовые функции полосовых фильтров.

1.1. Расчёт фильтров - прототипов

Фильтром – прототипом считается ФНЧ с частотой среза рад/с [2]. Он может быть пересчитан в фильтр другого вида с другими частотами среза.

По типу выделяют фильтры Баттерворта, Чебышева, эллиптические фильтры. Амплитудно – частотную характеристику (АЧХ) фильтра стремятся приблизить к П – образной.

1. Фильтры Баттерворта

АЧХ фильтра Баттерворта

,

- частота среза (для фильтра – прототипа она равна 1 рад/c), - порядок фильтра.

MATLAB – программа расчета аналогового фильтра – прототипа четвертого порядка

[z,p,k]=buttap(4) % нули и полюсы передаточной функции

[b,a]=zp2tf(z,p,k) % коэффициенты передаточной функции

w=0:0.1:5; % ось круговых частот

H=freqs(b,a,w) % передаточная функция

g=abs(H) % АЧХ

fi=unwrap(angle(H)) % ФЧХ без скачков фазы

subplot(1,2,1),plot(w,g)

subplot(1,2,2),plot(w,fi)

Рис.1. АЧХ и ФЧХ фильтра Баттерворта

На рис.1 показаны ачх и фчх фильтра Баттерворта четвертого порядка. Коэффициент передачи фильтра Баттерворта любого порядка на частоте рад/с равен дБ.

2. Фильтры Чебышева

АЧХ фильтра Чебышева первого рода (рис. 2 -2)

,

- частота среза, - полином Чебышева - го порядка, - коэффициент, определяющий уровень пульсаций в полосе пропускания. Для сравнения на рис. 2–1 показана АЧХ фильтра Баттерворта того же порядка. АЧХ фильтра Чебышева имеет бо’льшую крутизну.

Рис.2 АЧХ фильтра Чебышева первого рода четвертого порядка,

дБ

АЧХ фильтра Чебышева первого рода в пределах полосы пропускания () колеблется между значениями 1 и . Уровень пульсаций в полосе пропускания (в децибелах) связан с параметром :

, .

MATLAB – функция для расчета фильтра – прототипа Чебышева первого рода

[z,p,k]=cheb1ap(n,Rp).

АЧХ фильтра Чебышева второго рода (рис.3 -1)

,

- коэффициент, определяющий уровень пульсаций в полосе задерживания.

Рис. 3 АЧХ фильтра Чебышева второго рода, , дБ

Для сравнения на рис. 3 –2 показана АЧХ фильтра Чебышева первого рода.

MATLAB – функция для расчета фильтра – прототипа Чебышева первого рода

[z,p,k]=cheb2ap(n,Rs).

Передаточные функции и фильтров Чебышева второго и первого рода в некотором смысле противоположны:

.

АЧХ фильтра Чебышева второго рода в полосе задерживания колеблется от нуля до значения , поэтому уровень пульсаций задается большим.

3. Эллиптические фильтры ачх эллиптического фильтра (рис.4)

,

- параметры, определяющие величину пульсаций в полосах пропускания и задерживания, - рациональная функция Чебышева - го порядка. Эллиптический фильтр объединяет свойства фильтров Чебышева и

имеет наибольшую крутизну АЧХ.

MATLAB – функция для расчета эллиптического фильтра – прототипа

[z,p,k]=ellipap(n,Rp,Rs).

Рис. 4. АЧХ эллиптического фильтра, ,

дБ, дБ