- •Оглавление
- •Глава 1. Комплексные числа
- •1.1. Из истории возникновения
- •1.2. Определение комплексного числа
- •1.3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
- •Пример.
- •1.4. Свойства операций сложения и умножения
- •1.5. Свойства операции сопряжения
- •1.6. Геометрическая интерпретация комплексного числа
- •Пример. Изобразить на плоскости числа:
- •1.7. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •1.8. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
- •1.9. Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме
- •1.10. Свойства модуля комплексного числа
- •1.11. Извлечение корня из комплексного числа
- •1.12. Показательная форма комплексного числа
- •Пример. Записать число в показательной форме.
- •Упражнения
- •Глава 2. Системы линейных уравнений
- •2.1. Общие сведения о системах линейных уравнений
- •2.2. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)
- •2.3. Исследование системы линейных уравнений
- •2.4. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Определение и свойства
- •2.5. Линейная зависимость и линейная независимость конечной системы векторов
- •2.6. Ранг и базис конечной системы векторов
- •2.7. Ранг матрицы
- •2.8. Некоторые применения ранга матрицы
- •2.9. Особенная и неособенная матрицы
- •2.10. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений
- •Упражнения
- •Глава 3. Алгебра матриц
- •3.1. Операции над матрицами
- •3.2. Обратная матрица
- •3.3. Матричный способ решения систем линейных уравнений
- •Упражнения
- •Глава 4. Определители
- •4.1. Определители 2-го, 3-го порядков
- •4.2. Определители n-го порядка
- •4.3. Разложение определителя по строке (столбцу)
- •4.4. Применение определителей. Правило Крамера
- •4.5. Вычисление обратной матрицы
- •4.6. Вычисление ранга матрицы
- •4.7. Теорема Бине-Коши
- •4.8. Теорема Лапласа
- •Упражнения
- •Варианты контрольных заданий
- •Литература
4.3. Разложение определителя по строке (столбцу)
Определение. Минором элемента квадратной матрицы A называется определитель матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием i-ой строки и k-ого столбца. Обозначение: .
Выражение вида: , будем называть алгебраическим дополнением элемента матрицы A.
Теорема. Определитель матрицы A n-ого порядка равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:
- разложение по строке;
- разложение по столбцу.
Доказательство.
Воспользуемся свойствами 5, 2 и определением определителей:
Формула разложения по столбцу доказывается аналогично.
Пример.
Вычислим определитель разложением по 1-й строке:
Теорема. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна 0, т.е. справедлива формула:
(здесь - символ Кронекера).
Доказательство.
При i=j утверждение совпадает с предыдущей теоремой. Остается рассмотреть случай ij. Введем матрицу A, получающуюся из A заменой j-й строки на i-ю:
.
Согласно свойству 3 определителей, будет . С другой стороны, раскладывая, в соответствии с предыдущей теоремой, определитель A по j-й строке, имеем: . Сравнивая правые части, получаем искомое. Теорема доказана.
4.4. Применение определителей. Правило Крамера
Теорема Крамера. Пусть задана система линейных уравнений, содержащая n уравнений и n неизвестных:
|
(*) |
Тогда, если определитель основной матрицы системы отличен от 0, система имеет единственное решение:
|
(**), |
где
- основная матрица системы, =detA, (k-ый столбец матрицы A заменен столбцом свободных членов).
Доказательство.
Докажем сначала единственность решения. Домножим i-е уравнение системы на алгебраическое дополнение Aik и просуммируем получившиеся уравнения:
.
Перегруппировав слагаемые и вынося за скобки xi: ,
Но - разложение определителя по столбцу.
,
По теореме из предыдущего раздела:
.
Получаем: , .
Поскольку по предположению 0, то . Ввиду произвольности k получаем: .
Таким образом, если вектор служит решением системы (*), его координаты удовлетворяют формулам (**).
Обратно, пусть координаты вектора получены по формулам (**). Умножая матрицу A справа на столбец , получаем вектор-столбец S, k-я координата которого равна
т.е. столбец .
Таким образом, вектор-столбец служит решением матричного уравнения . А это равносильно (см. пункт 3.3.) тому, что - решение системы (*). Теорема доказана.
4.5. Вычисление обратной матрицы
Теорема. Пусть A – неособенная матрица, т.е. =detA≠0. Тогда существует матрица - обратная к A, причем , где (матрица из алгебраических дополнений к элементам A, транспонированная).
Доказательство.
Достаточно проверить выполнение равенства . Но
,
т.к.
.
Теорема доказана.