Глава 3. Алгебра матриц
Прямоугольные матрицы встречаются настолько часто, что с течением времени возник самостоятельный раздел математики – теория матриц. Ее становление относят к середине прошлого века, но полноту и изящество она приобрела позднее, вместе с развитием линейной алгебры. До сих пор теория матриц остается важным инструментом исследования, хорошо приспособленным и к запросам математики. Здесь будут изложены простейшие результаты теории матриц, с более подробным изложением теории матриц можно познакомиться в книге [7].
3.1. Операции над матрицами
Операция сложения (“+”).
,
где каждый из элементов матрицы
равен сумме соответствующих элементов
слагаемых, то есть:
.
Например:
.
Свойства операции сложения матриц:
Операция умножения
на скаляр (“
”)
.
Например:
.
Свойства операции умножения матрицы на скаляр:
Операция умножения матриц
,
где
.
Например:
.
Свойства операции умножения матриц:
,
если
,
то матрицы A
и B
называются перестановочными.
Докажем какое-нибудь
из свойств операций над матрицами,
например, ассоциативность их умножения:
.
Доказательство.
Требуется установить, что для произвольных матриц A, B, и C подходящего размера выполнено . Имеем
,
т.е. правая и левая части равенства, во всяком случае, являются матрицами одного размера. Сравним их соответствующие элементы:
Свойство 9 доказано.
3.2. Обратная матрица
Определение.
Матрицу B
будем называть обратной к квадратной
матрице A,
если
,
где E=
- единичная матрица.
Обозначение:
.
Свойства обратной матрицы:
Определение. Матрицу, полученную из единичной при помощи одного элементарного строчечного или столбцового преобразования первых трех типов, будем называть элементарной матрицей.
Непосредственным подсчетом можно убедиться в справедливости следующей теоремы.
Теорема. Элементарные преобразования первых трех типов данной матрицы дают тот же результат, что и умножение на элементарную матрицу, полученную с помощью строчечных или столбцовых преобразований.
Как следствие, получаем важный результат:
Теорема. Матрица обратима тогда и только тогда, когда она является неособенной.
Доказательство
А – неособенная r(A)=n можно элементарными преобразованиями строк привести матрицу А к единичной существуют элементарные матрицы Э1, Э2,…, Эs такие, что
.
Теорема доказана.
Данная теорема дает нам способ вычисления обратной матрицы: приписываем справа (через черту) к матрице A единичную и с помощью элементарных преобразований строк приводим матрицу A к единичной. Тогда справа от черты стоит матрица A-1:
Пример.
B-1=
3.3. Матричный способ решения систем линейных уравнений
Пусть дана система из n линейных уравнений с n неизвестными (т.е. ее основная матрица A – квадратная):
|
(3.1) |
Обозначая
,
получаем, что система (3.1) равносильна
одному матричному уравнению
(3.2)
Пусть A-1. Тогда
Получили теорему.
Теорема. Если основная матрица A системы линейных уравнений квадратная и существует обратная к ней матрица A-1, то вектор-столбец решений получается домножением матрицы A-1 слева на столбец свободных членов.
Пример.
(обратная матрица к A взята из предыдущего примера).