- •Оглавление
- •Глава 1. Комплексные числа
- •1.1. Из истории возникновения
- •1.2. Определение комплексного числа
- •1.3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
- •Пример.
- •1.4. Свойства операций сложения и умножения
- •1.5. Свойства операции сопряжения
- •1.6. Геометрическая интерпретация комплексного числа
- •Пример. Изобразить на плоскости числа:
- •1.7. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •1.8. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
- •1.9. Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме
- •1.10. Свойства модуля комплексного числа
- •1.11. Извлечение корня из комплексного числа
- •1.12. Показательная форма комплексного числа
- •Пример. Записать число в показательной форме.
- •Упражнения
- •Глава 2. Системы линейных уравнений
- •2.1. Общие сведения о системах линейных уравнений
- •2.2. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)
- •2.3. Исследование системы линейных уравнений
- •2.4. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Определение и свойства
- •2.5. Линейная зависимость и линейная независимость конечной системы векторов
- •2.6. Ранг и базис конечной системы векторов
- •2.7. Ранг матрицы
- •2.8. Некоторые применения ранга матрицы
- •2.9. Особенная и неособенная матрицы
- •2.10. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений
- •Упражнения
- •Глава 3. Алгебра матриц
- •3.1. Операции над матрицами
- •3.2. Обратная матрица
- •3.3. Матричный способ решения систем линейных уравнений
- •Упражнения
- •Глава 4. Определители
- •4.1. Определители 2-го, 3-го порядков
- •4.2. Определители n-го порядка
- •4.3. Разложение определителя по строке (столбцу)
- •4.4. Применение определителей. Правило Крамера
- •4.5. Вычисление обратной матрицы
- •4.6. Вычисление ранга матрицы
- •4.7. Теорема Бине-Коши
- •4.8. Теорема Лапласа
- •Упражнения
- •Варианты контрольных заданий
- •Литература
Упражнения
Найти все решения матричного уравнения:
;
.
Умножить матрицы:
;
;
;
;
.
Выполнить действия:
;
;
;
.
Найти , α - вещественное число.
Вычислить , где , а - матрица, транспонированная к A.
Доказать, что:
;
.
Решить системы линейных уравнений матричным способом
;
;
;
;
.
Глава 4. Определители
Слово детерминант происходит от латинского determino – «ограничивать», «определять» и его буквальный смысл – «определитель». Термин встречается впервые у Гаусса и означает при этом дискриминант квадратичной формы (1801 г). В современном значении этот термин ввел Коши (1815 г). Идея детерминанта восходит к Лейбницу, который пришел к детерминантам при решении систем линейных уравнений, рукопись относится к 1678 году. Первые полные изложения теории определителей принадлежат Бине и Коши.
4.1. Определители 2-го, 3-го порядков
Рассмотрим систему:
(*)
Домножим каждую из строк матрицы вначале на и , а затем на и соответственно, и сложим строки:
+
.
Определение. Определителем квадратной матрицы второго порядка будем называть выражение вида:
. (1)
Обозначая:
получаем .
Рассмотрим систему:
(**)
Определение. Определителем квадратной матрицы A третьего порядка будем называть выражение вида:
(2)
Обозначая , , , и производя несложные преобразования, можно убедиться, что, если =detA≠0, то решение системы (**) вычисляется по формулам:
, где k=detBk, k=1, 2, 3.
Рассмотренные случаи приводят нас к общему понятию определителя.
4.2. Определители n-го порядка
Определение. Перестановкой из n чисел 1, 2, 3,…, n будем называть всякое расположение этих чисел, записанное в определенном порядке. Множество всех перестановок из n чисел обозначается .
Например, S3={(123), (132), (213), (231), (312), (321)}.
Число перестановок в : n!=1·2·3·…·n.
Будем говорить, что два числа в перестановке составляют инверсию (беспорядок), если большее из них расположено левее меньшего.
Определение. Перестановку = будем называть четной, если общее число инверсий I в ней четное, и нечетной, если общее число инверсий – нечетное.
Пример.
Перестановка из 9 чисел =(3, 8, 4, 1, 7, 9, 6, 2, 5) является четной, поскольку общее число инверсий в ней I()=2+6+2+0+3+3+2+0+0=18.
Теорема. Если переставить местами 2 произвольных элемента ik и ik+l в перестановке = , полученная перестановка = будет другой четности.
Доказательство.
Если переставляются местами два соседних элемента ik и ik+1, то утверждение теоремы очевидно, поскольку сохраняет все инверсии перестановки , кроме инверсии, образованной (или не образованной) самими элементами ik и ik+1. В общем случае поменять местами элементы ik и ik+l можно, совершив l+(l-1)=2l+1 перестановок двух соседних элементов (ikik+1, ik+1ik+2,..., ik+1-1ik+1, ik+1-1ik+1-2,..., ik+1ik), т.е. нечетное число раз поменяв четность всей перестановки . В итоге получается перестановка другой четности. Теорема доказана.
Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:
.
Определение. Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется алгебраическая сумма n! слагаемых, состоящих из n сомножителей - элементов матрицы , выбранных по одному из каждой строки и каждого столбца. При этом, если номера строк элементов, входящих в произведение, записаны в порядке возрастания, а номера их столбцов образуют перестановку , то данное произведение берется со знаком «+», если перестановка четная, и со знаком «-», если она – нечетная. Обозначается определитель матрицы A так: detA или |A|.
.
Замечание. Применяя данное определение к матрицам 2-го и 3-го порядков, получаем уже выведенные ранее формулы (1) и (2).
Свойства определителей
Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то определитель этой матрицы равен нулю.
Доказательство.
Данное свойство непосредственно следует из определения определителя, поскольку каждое участвующее в нем слагаемое в качестве множителя будет содержать 0.
Если строки матрицы поменять местами, то определитель новой матрицы и определитель исходной матрицы будут различаться знаками.
Доказательство.
Рассмотрим 2 матрицы A и B, где B получена из A перестановкой s-ой и t-ой строк, s<t:
и .
Тогда
(воспользовались предыдущей теоремой об изменении четности перестановки при перестановке двух ее членов). Свойство доказано.
Если матрица содержит две одинаковые (пропорциональные) строки, то определитель этой матрицы равен нулю.
Доказательство.
Если в матрице A s-я и t-я строки совпадают, переставляя их местами и пользуясь предыдущим свойством, получаем: detA=-detA, откуда detA=0.
Если матрица B получается из матрицы A умножением произвольной строки на некоторое число , то определитель B получается из определителя A умножением на то же число: detB=detA.
Доказательство.
Рассмотрим 2 матрицы A и B, где B получена из A умножением s-ой строки на число :
и .
Тогда
что и требовалось доказать.
Если в матрице A некоторая строка получается как сумма двух строк (т.е. каждый элемент этой строки представляет из себя сумму двух элементов), то определитель A раскладывается в сумму двух определителей, у которых в данной строке осталось одно слагаемое, а все остальные строки совпадают с соответствующими строками матрицы A.
Доказательство.
Рассмотрим 3 матрицы A, A' и A'', все строки которых, кроме s-ой, совпадают, а s-я строка A получена сложением s-ых строк матриц A' и A'':
, и .
Тогда
что и требовалось доказать.
Если какая-либо строка матрицы является линейной комбинацией остальных строк, то определитель этой матрицы равен 0.
Доказательство.
Получается последовательным применением свойств 5, 4 и 3.
Следствия:
A - особенная матрица.
.
Значение не изменится, если:
а) к какой-либо строке прибавить другую строку;
б) к какой-либо строке прибавить линейную комбинацию остальных строк.
Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.