1.9. Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме

Применяя формулу умножения комплексных чисел в случае n равных сомножителей, получаем правило возвышения комплексного числа в целую положительную степень:

[r(cos+isin)]n=rn(cos(n)+isin(n)),

(*)

т.е. для возведения комплексного числа в целую положительную степень нужно его модуль возвести в эту степень и аргумент умножить на показатель степени.

Полагая в формуле (*) r=1, получаем формулу Муавра:

(cos+isin)ⁿ=(cos(n)+isin(n))

1.10. Свойства модуля комплексного числа

Обобщая сформулированные выше результаты, получаем следующие свойства модуля:

1. z 0

2. zR  zсовпадает с абсолютной величиной действительного числа

3. z₁z₂=z₁z₂

4. 

5. zⁿ=zⁿ

6. z₁-z₂ z₁+z₂ z₁+z₂

Последнее свойство справедливо, поскольку служит арифметическим выражением неравенства треугольника, записанного для векторов z₁, z₂, z₁+z₂.

1.11. Извлечение корня из комплексного числа

Определение. Корнем n-й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-я степень которого равна подкоренному числу: , Wⁿ=z.

Таким образом, равенство:

равносильно равенству

ⁿ(cos(n)+isin(n))=r(cos+isin)

Но у равных комплексных чисел модули должны быть равны, и аргументы могут отличаться лишь кратным 2, т.е. ⁿ=r, n=+2k,

откуда

где есть арифметическое значение корня и k – любое целое число. Таким образом, получаем:

(*)

т.е. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня. В формуле (*) число k может принимать всевозможные целые значения; однако различных значений корня будет только n, и они будут соответствовать значениям:

k=0, 1, 2, ..., (n-1)

(**)

Чтобы доказать это, заметим, что правые части в формуле (*) будут различными при двух различных значениях k=k₁ и k=k₂ тогда, когда аргументы и отличаются не кратным 2, и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются кратным 2. Но разность (k₁-k₂) двух чисел из ряда (**) по абсолютному значению меньше n, а потому разность не может быть кратна 2, т.е. n значениям k из ряда (**) соответствуют n различных значений корня.

Пусть теперь k₂ – целое число (положительное или отрицательное), не заключающееся в ряде (**). Мы можем представить его в виде:

k₂=qn+k₁

где q - целое число и k₁ – любое число из ряда (**), а потому

т.е. значению k₂ соответствует то же значение корня, что и значению k₁, заключающемуся в ряде (**).

Итак, корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Исключение из этого правила представляет лишь частный случай, когда подкоренное число равно нулю, т.е. r=0. В этом случае все указанные выше значения корня равны нулю.

1.12. Показательная форма комплексного числа

Обобщим понятие о показательной функции на случай любого комплексного показателя. При вещественном показателе функция e^x может быть представлена в виде ряда:

Определим аналогичным рядом показательную функцию и в случае чисто мнимого показателя, т.е. положим:

Отделяя вещественные и мнимые члены, имеем отсюда:

откуда, вспомнив разложения cosy и siny в ряд, определяем:

eyi=cosy+i siny

(1)

Эта формула и определяет показательную функцию при чисто мнимом показателе. Заменяя y на (-y):

e-yi=cosy-i siny

(2)

и решая уравнения (1) и (2) относительно cosy и siny, получим формулы Эйлера, выражающие тригонометрические функции через показательные с чисто мнимым показателем:

,

(3)

Формула (1) дает новую показательную форму комплексного числа, имеющего модуль r и аргумент :

r(cos+isin)=re^i

Показательную функцию при любом комплексном показателе x+yi определяем формулой:

ex+yi=exeyi=ex(cosy+isiny)

(4)

т.е. модуль числа e^x+yi будем считать равным e^x, а аргумент равным y.

Нетрудно обобщить на случай комплексных показателей правило сложения показателей при умножении. Пусть z=x+yi и w=s+ti. Тогда

e^ze^w=e^x(cosy+isiny)e^s(cost+isint)=e^x+s[cos(y+t)+isin(y+t)]

Но выражение, стоящее в правой части этого равенства, согласно определению (4), представляет собою:

e^{(x+s)+(y+t)i}=e^z+w

Правило вычитания показателей при делении:

может быть непосредственно проверено путем умножения частного на делитель. В случае натурального n будем иметь:

(e^z)ⁿ=e^ze^z...e^z=e^nz